Exponencial Mackenzie-SP

por dudsliver1 Qui 07 Nov 2013, 22:15

(Mackenzie-SP) A solução real k da equação $(3 . 9^x - 15^x)/25^x = 2$

$a)\; tal\; que\; 5^k = \sqrt{k}$

$b)um\; elemento\; de\; \mathbb{R\_}$

$c) um\; elemento \; de \; \left \{ -5;-3;2;3;5 \right \}$

$d) tal \; que \; k\geqslant 2$

$e)\; tal\; que \; 0<k<2$

gabarito: b

agradeço quem puder ajudar =)
não consegui desenvolver a equação

por Luck Qui 07 Nov 2013, 23:06

3.9^x - 15^x = 2.25^x
3.3^(2x) - (3^x)(5^x) = 2.5^(2x) , seja 3^x = t , 5^x = u
3t² - ut - 2u² = 0 , dividindo por u²:
3(t/u)² - (t/u) - 2 = 0
(t/u) = -2/3 (nao serve) ou (t/u) = 1
(3/5)^x = 1
x = k = 0 que pertence a R_

por pedroita Qui 07 Nov 2013, 23:10

(3.9^x - 15^x)/25^x = 2

[3.(3.3)^x - (3.5)^x]/25^x = 2

(3 . 3^x . 3^x - 3^x . 5^x)/(5^x . 5^x) = 2

3^x . [3^(x+1) - 5^x] = 2 . 5^2x

3 é primo
2 é primo
5 é primo
então o 3 tem que desaparecer, x = 0

1 . (3^1 - 1) = 2 . 1
3 - 1 = 2
2 = 2

Logicamente k = 0, ∈ aos reais não positivos.

por Paulo Testoni Sex 08 Nov 2013, 00:41

Hola.

Não querendo desfazer dos colegas:

$Exponencial Mackenzie-SP Gif.latex?3*9%5Ex-15%5Ex%20%3D%202*25%5Ex%2C%7Evamos%7Edividir%7Etudo%7Epor%7E%2015%5Ex%5C%5C%203*%5Cleft%28%5Cfrac%7B9%5Ex%20%7D%7B15%5Ex%7D%20%5Cright%20%29-%20%5Cleft%20%28%20%5Cfrac%7B15%5Ex%7D%7B15%5Ex%7D%5Cright%29%3D%202*%5Cleft%20%28%5Cfrac%7B25%5Ex%20%7D%7B15%5Ex%7D%20%5Cright%29%5C%5C%203*%5Cleft%20%28%5Cfrac%7B9%7D%7B15%7D%5Cright%29%5Ex%20-%20%5Cleft%20%28%5Cfrac%7B15%7D%7B15%7D%5Cright%29%5Ex%20%3D%202*%5Cleft%20%28%5Cfrac%7B25%7D%7B15%7D%5Cright%29%5Ex%2C%20simplificando%3A%5C%5C%203*%5Cleft%20%28%5Cfrac%7B3%7D%7B5%7D%5Cright%29%5Ex%20-%20%5Cleft%20%28%5Cfrac%7B1%7D%7B1%7D%5Cright%29%5Ex%20%3D%202*%5Cleft%20%28%5Cfrac%7B5%7D%7B3%7D%5Cright%29%5Ex%5C%5C%203*%5Cleft%20%28%5Cfrac%7B3%7D%7B5%7D%5Cright%29%5Ex%20-%201%3D%202*%5Cleft%20%28%5Cfrac%7B3%7D%7B5%7D%5Cright%29%5E%7B-x%7D%2C%20fazendo%3A%5Cleft%20%28%5Cfrac%7B3%7D%7B5%7D%5Cright%29%5Ex%3D%20a%2C%20temos%3A%5C%5C%203a%20-%201%20%3D%202*a%5E%7B-1%7D%5C%5C%203a%20-%201%20%3D%20%5Cfrac%7B2%7D%7Ba%7D%5C%5C%203a%5E2%20-a%20-2%20%3D%200%2C%20donde%3A%20a%27%3D-%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%2C%20que%7Enao%7Eserve%7Ee%7Ea%27%27%3D1.%20Voltando%7Ena%7Evari%E1vel%7Eauxiliar%7E%5Cleft%20%28%5Cfrac%7B3%7D%7B5%7D%5Cright%29%5Ex%3D%20a%2C%7E%20temos%3A%5C%5C%5Cleft%20%28%5Cfrac%7B3%7D%7B5%7D%5Cright%29%5Ex%3D%20a%5C%5C%20%5Cleft%20%28%5Cfrac%7B3%7D%7B5%7D%5Cright%29%5Ex%3D%201%5C%5C%20%5Cleft%20%28%5Cfrac%7B3%7D%7B5%7D%5Cright%29%5Ex%3D%20%5Cleft%20%28%5Cfrac%7B3%7D%7B5%7D%5Cright%29%5E0%5C%5C%20x%20%3D%200%2C%20letra%7Eb$