UESB 2011.2 Geometria Analitica

Olá a todos. Esta questão eu tentei resolvê-la e marquei a alternativa 05). Porém, no gabarito diz que a certa é a 03). Logo, fiquei com dúvida em relação a esta questão. Obrigado a todos desde já.




Wassily Kandisky foi um pinto escritor russo que se destacou pela qualidade de suas obras, bem como por introduzir a abstração nas artes visuais. (ARTEDUCA, 2011)

Na figura, ve-se uma de suas obras, Composição VIII, 1923. Óleo sobre tela, Museu Solomon R. Guggenheim, Nova Iorque. Nela, pode-se observar a presença de várias representações de circunferências e retas, algumas das quais com pontos comuns.

Supondo-se que, na figura, as duas retas r e s tenham equações r: 8x + 6y + 9 = 0 e s: 3x - 4y - 1 = 0 e uma circunferência λ: (x - 5)² + (y + 2)² = 16, pode-se afirmar que as posições relativas entre r e s e entre r e λ são, respectivamente,

01) retas paralelas e reta secante à circunferência
02) retas paralelas e reta tangente à circunferência 
03) retas perpendiculares e reta secante à circunferência.
04) retas perpendiculares e reta tangente à circunferência
05) retas concorrentes não perpendiculares e reta exterior à circunferência

Postagem em local indevido: o local correto é Geometria Analítica

Hola.

r: 8x + 6y + 9 = 0 ==> 6y = -8x - 9 ==> y = -8x/6 - 9/6
coef angular de r: m= -8/6 ==> m = -4/3


 e 


s: 3x - 4y - 1 = 0  ==> -4y = -3x + 1 ==> 4y = 3x - 1 ==> y = 3x/4 - 1/4
coef. angular de s: n = 3/4


note que : m*n = -4/3 * 3/4 = -1, quando isso acontece as retas r e s são perpendiculares.

Complementando a resposta do meu grande amigo Paulo:

Posição entre r e λ:


r: y = - 8x/6 - 9/6 ----> y = - 4x/3 - 3/2


λ: (x - 5)² + (y + 2)² = 16 ---> (x - 5)² + (-4x/3 - 3/2 + 2)² = 16 ---> (x - 5)² + (-4x/3 + 1/2)² = 16 



Chegue numa equação do 2º grau.
Calcule o valor do discriminante ∆
Se ∆ = 0 a reta r é tangente à circunferência, se ∆ > 0 a reta r é secante e se ∆ < 0 a reta r é exterior à circunferência.

A respesta é a 03 mesmo segunda a UESB

Hola.

Sempre respeitando a colocação do nosso amigo Elcio Fonseca.

Vamos utilizar a fórmula da distância entre ponto e reta para calcular a distância entre O e r.


Solução: Devemos calcular a distância entre o centro (O) da circunferência e a reta r e comparar com a medida do raio. Da equação da circunferência (x - 5)² + (y + 2)² = 16, obtemos:

x₀ = 5 e y₀ = -2 → O(5, -2)
r² = 16 → r =4

Da equação geral da reta r: 8x + 6y + 9 = 0, obtemos:
a = 8, b = 6 e c = 9

Solução perfeita Paulo

Estimado Elcio.

Fico grato pelas suas palavras. Aqui só foi usado a força braçal, ou seja, pura aplicação de fórmula. Ainda estou muito longe da sua erudição.

Ótimo resolução Paulo. Eu teria feito da mesma maneira,

Hola Pedro.

Qual o motivo por não ter feito da mesma maneira?

Eu fiz,

Só que em outro Fórum.

Veja: http://www.tutorbrasil.com.br/forum/matematica-pre-vestibular/uesb-2011-2-geometria-analitica-t35223.html

Havia respondido aqui também, no entanto foi na primeira vez que ele havia postado e o tópico foi movido enquanto postava minha resposta e por isso a perdi.

Att.,
Pedro