Congruência II - resto divisão por 8

O número N=123456789(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17).....) está inscrito na base 8. Sabe-se que N tem 2007 algarismos. Determine o resto da divisão de N por 8.

Gab.:  Não tenho a resposta

att

Olá , raimundo , acho que a solução é assim :

1 a b - 1 ---> 1 a 7 = (7 - 1 + 1)*1 = 7 alg

b a b² - 1 ---> 8 a 63 = (63 - 8 + 1)*2 = 112 alg

b² a b³ - 1 ---> 64 a 511 = (511 - 64 + 1)*3 = 1344 alg

b³ a b^4 - 1 ---> 512 a 4096 = (4096 - 512 + 1)*4 = 14340 alg , perceba que passou de 2007 alg , então descartamos essa possibilidade


Então , vamos fazer assim :

b³ a x ---> 512 a x = ( x - 512 + 1)*4 = 2007 - (7 + 112 + 1344)
---> (x - 511)*4 = 544 ---> x = 647


Então o último número de N é 647 , ele é um número da forma ...645 646 647


Para saber o resto da divisão de N por 8 é só dividir os 3 últimos algarismos de N por 8 , 647 = 8*80 + 7 , logo seu resto é 7

Cara, eu também estava tentando resolver essa questão, e também cheguei à conclusão dos tais "últimos 3 algarismos". Porém, os três ultimos que encontrei, foram diferente do seu, porque eu encontrei 705. Eu fiz "no braço", pra chegar:

0 ~ 9 --> 9 algarismos
10 ~ 99 --> 90 (números) x 2 (um número = 2 algarismos) = 180 algarismos.
100 ~ 199 --> 100 (números) x 3 (um número = 3 algarismos) = 300 algarismos
200 ~ 299 -- > 300 algarismos
300 ~ 399 -- > 300 algarismos
400 ~ 499 -- > 300 algarismos
500 ~ 599 -- > 300 algarismos
600 ~ 699 -- > 300 algarismos
(TOTAL = 1989 algarismos) 

Faltam, ainda, portanto, 18 algarismos. Continuando a sequência:
...700701702703704705.

Ou seja, eu obti, como sendo 705 os últimos três algarismos, que dividido por 8, deixa resto igual a 1.

Até porque, de 512 a 647, há 136 408 algarismos (contando o 512, já que voce parou no 511 na contagem anterior). E 136 408 + 1344 + 112 + 7 = 1599 1871, e não 2007 como propõe o enunciando.

(corrigi, 136 são números, e não algarismos)

Obrigado.
Espero que alguém resolva por congruência modular.