progressão

Na   figura   que   segue   está   representada   uma   seqüência   de   circunferências   construídas   do   seguinte
modo:   na   primeira   etapa   é   tomada   a   circunferência   C1,1  de   raio   r   >   0;   na   segunda   etapa   são
construídas   duas   circunferências,   C2,1  e   C2,2,  que   passam   pelo   centro   de   C1,1  e   a   tangenciam;   na
terceira   etapa   a   construção   é   repetida   de   forma   análoga,   em   C2,1  e   C2,2,   obtendo-se   quatro   novas circunferências. O processo continua indefinidamente desta forma.



Se Sn  for a soma das medidas dos comprimentos de todas a circunferências obtidas  somente na etapa
n, então é correto afirmarque
(A) a seqüência (S1,S2, S3, ..., Sn) é uma progressão geométrica de razão r/2.
(B) a seqüência (S1,S2, S3, ..., Sn) é umaprogressão aritméticade razãor.
(C) sendo   r   =  1,  ao   continuar   a   construção   indefinidamente   a   soma  infinita   S  =  S1  +  S2  +  S3  +  ... convergirápara2.
(D) se   a   medida   de   r   for   1   m,   a   soma  S  =  S1  +  S2  +  S3  +  ...   +  S200  dos   200   primeiros   termos  da seqüência (S1,S2, S3, ...) é superior a 1 km.
(E) a   seqüência   infinita   (S1,   S2,  S3,   ...)   é   uma   progressão   geométrica   cuja   soma
S = S1 + S2 + S3 + ... só convergese r <1


Començo da solução:

em S2 Passam por o centro e tangenciam a circunferencia, então serão de diamentro igual a curcunferencia de S1, então a suma dos raios sera tambem igual ao raio de S1. por lo tanto, a razão  será 1/1= 1.

sendo a razão 1 a suma dos primeiros 200 termos será

   o que resulta em uma indefinição

Olá, Tentei resolver aqui e acho que cheguei a uma solução

Não sei se você entendeu bem o enunciado mas vai uma imagem para representar com base no que consegui interpretar:



S1 = 2∏r 
S2 = 2∏r/2 + 2∏r/2 = 2*(2∏r)/2 = 2∏r
S3 = 4*(2∏r)/4 = 2∏r
Sn = n*(2∏r)/n = 2∏r

S = S1 + S2 + S3 ... + S200 = n*2∏r = 200*2∏r = 400∏ ~ 1,256 km.

Logo (D) satisfaz o enunciado