Progressão

Seja uma PG decrescente cujo primeiro termo excede em 2 o primeiro termo de uma PA e o terceiro termo excede em 3 o terceiro termo dessa mesma PA.Se em ambas as progressões o segundo termo vale 10, o valor da soma da razão da PA com a razão da PG é :

Resposta: -7,5

PA: (x, 10, y, ...) --> 10 - x = y - 10 --> y = 20 - x (I)


PG: (x + 2, 10, y + 3, ...) --> 10/(x + 2) = (y + 3)/10 --> (x + 2)(y + 3) = 100 (II)


De I em II:
(x + 2)(20 - x + 3) = 100 --> (x + 2)(23 - x) = 100 --> x² - 21x + 54 = 0 --> x = 18 ou x = 3

Para x = 18, tem-se y = 20 - 18 = 2. Para x = 3, tem-se y = 20 - 3 = 17. 

Como a PG é decrescente, então x + 2 > y + 3 --> x > y + 1. Logo x = 18 e y = 2.

A razão da PA é r = 10 - x = 10 - 18 = -8. A razão da PG é q = 10/(x + 2) = 10/(18 + 2) = 10/20 = 0,5.

Logo, r + q = -8 + 0,5 = -7,5.

Utilizaremos apenas PA e PG de 3 termos:

PG(x/q, x, x.q) e PA(x-r, x , x+r), em que x é o seundo termo de ambas as progressões, q é a razão da PG e r a razão da P.A. Queremos calcular q+r

Sabemos que: 
x/q = x-r + 2
x.q = x+r + 3

Mas como x vale 10:

10/q = 10-r + 2 = 12-r 
10.q = 10+r +3 = 13+r

Da equação 2, isolando r:
r = 10q - 13

Substituindo na equação 1:

10/q = 12 - (10q - 13)
10 = 12q - 10q^2 + 13q
10q^2 - 25q + 10 = 0
2q^2 - 5q + 2 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau, encontramos como raizes q = 2 e q = 1/2. Mas como a PG é decrescente, q=1/2

Assim, r=-8 e r+q = -7,5