UFPR Analise Combinatória.

(UFPR) Para formar uma comissão de três membros,apresentaram-se 3 jornalistas, 4 advogados e 5 professores. Indicando por N o número de possibilidades para formar tal comissão, considere as afirmações:
I) N = 70, se for exigido que soemnte dois membros da comissão sejam professores.
II) N = 1320, se não houver outra condição além da quantidade de pessoas na comissão.
III) N = 136, se for exigido que pelo menos um membro da comissão seja jornalista.
IV) N = 60, se a comissão for formada por um jornalista, um advogado e um professor.
R:I,III e IV
Não estou conseguindo entender o porquê da I e III estarem corretas, alem de a II estar errada.

I) Queremos que exatamente dois professores pertençam à comissão.
Assim, devemos escolher 2 dos 5 profesores e 1 dentre os 3 jornalistas e 4 advogados. Há, então

C_{5,2} x C_{3+4,1} = 5!/(2!3!) x 7 = 10x7 = 70 maneiras de formar a comissão.

II) Apenas vamos formar a comissão. Temos 3 + 4 + 5 pessoas para escolhermos 3:

C_{12,3} = 12!/(9!3!) = (12.11.10)/(6) = 2x 11 x 10 = 220 maneiras (Falso!)

III) Tente fazer de maneira análoga ao I. Se não estiver conseguindo fazer, coloque a sua tentativa e eu poderei analisar

Até

Nossa, eu estava cometendo um erro ridiculo, estava tentando fazer pela maneira de casas:

Ex ...        ___ ___ ___     ...
                 x .  y .  z
Usar essa maneira nesse exercício nao faz o minimo sentido, agradeço por esclarecer.

Sem problemas  
Sempre que um problema falar "comissão", sem dúvidas utilizamos combinação

Giiovanna escreveu:I) Queremos que exatamente dois professores pertençam à comissão.
Assim, devemos escolher 2 dos 5 profesores e 1 dentre os 3 jornalistas e 4 advogados. Há, então

C_{5,2} x C_{3+4,1} = 5!/(2!3!) x 7 = 10x7 = 70 maneiras de formar a comissão.

II) Apenas vamos formar a comissão. Temos 3 + 4 + 5 pessoas para escolhermos 3:

C_{12,3} = 12!/(9!3!) = (12.11.10)/(6) = 2x 11 x 10 = 220 maneiras (Falso!)

III) Tente fazer de maneira análoga ao I. Se não estiver conseguindo fazer, coloque a sua tentativa e eu poderei analisar

Até

Boa tarde!
Estou quebrando a cabeça com esse item III. Para mim ele é falso. Seguem meus cálculos:
C_{3,1} x C_{12-1,2} = 11!/(2!9!) x 3 = 55x3 = 165 maneiras de formar a comissão com PELO MENOS UM JORNALISTA.

O que está errado no cálculo? Aparentemente o resultado correto é 136.
Agradeço pela ajuda!

Comissões com apenas 1 jornalista = C(3, 1).C(9, 2) = 3. 36 = 108
Comissões com apenas 2 jornalistas = C(3, 2).C(9, 1) = 3.9 = .. 27
Comissões com todos os 3 jornalistas = C(3, 3).C(9, 0) = ........... 1

Total = 108 + 27 + 1 = 136

Elcioschin escreveu:Comissões com apenas 1 jornalista = C(3, 1).C(9, 2) = 3. 36 = 108
Comissões com apenas 2 jornalistas = C(3, 2).C(9, 1) = 3.9 = .. 27
Comissões com todos os 3 jornalistas = C(3, 3).C(9, 0) = ........... 1

Total = 108 + 27 + 1 = 136

@Elcioschin , obrigado pela pronta resposta.

Poderia me explicar por quê eu não posso escolher 1 dentre 3 jornalistas para a primeira vaga, e combinar as outras 11 pessoas nas duas vagas restantes? Para mim parece a mesma lógica.
Abs.

1 entre 3 jornalistas ---> Não pode escolher mais jornalistas. Sobram somente 9 escolhas (e não 11)

Elcioschin escreveu:1 entre 3 jornalistas ---> Não pode escolher mais jornalistas. Sobram somente 9 escolhas (e não 11)

Muito obrigado pelo esclarecimento!
Abs