Cone inscrito num prista hexagonal

por adorni Sex 30 Ago 2013, 21:24

(ITA-SP) Um prisma hexagonal regular tem como altura o dobro da aresta da base A. A razão entre o volume desse prisma e o volume do cone reto, nele inscrito, é igual a:

a) 6√2 / π b) 9√2 / π c) 3√6 / π d) 6√3 / π e) 9√3 / π

Gabarito: D

por **Jose Carlos** Sex 30 Ago 2013, 22:29

Sejam:

a -> aresta da base do prisma hexagonal

h -> altura do prisma

ap -> apótema da base do prisma

Sb -> área da base

Vp -> volume do prisma

Vc -> volume do cone

Vp = Sb*h

h = 2a -> Vp = Sb*2a

............a²*\/3.....3*(\/3)*a²
Sb = 6*--------- = -----------
................4................2

..........3*(\/3)*a²
Vp = ( ------------ )*2a = 3*(\/3)*a³
..................2

- raio da base do cone inscrito no prisma:

R = apótema da base do prisma

a² = (a/2)² + R²

.......3*a²
R² = ------
.........4

.....................3*a²
Vc = (1/3)*pi*(----- )*2a
.......................4

........pi*a³
Vc = -------
..........2

.............3*(\/3)*a³.......6*\/3
razõao = ------------- = -------
................pi*a³................pi
...............-------
...................2