Cone inscrito em esfera

por **Eduardo Sicale** Dom 13 Fev 2011, 12:31

Um cone equilátero é inscrito numa esfera; cortar os dois sólidos por um plano paralelo à base do cone, de modo que a diferença das secções obtidas seja um valor pi m² dado. Dar uma relação entre o raio a distanciado plano ao centro da esfera em m.

Resposta: 4d² - 2Rd = 2R² - 3m²

Obrigado !!!

por **adriano tavares** Dom 13 Fev 2011, 23:03

Olá,Eduardo Sicale.

y--> raio do cone menor

R --> raio da esfera

r --> raio do cone maior

h --> altura do cone maior

d --> distância do plano ao centro da esfera

$h=\frac{2r\sqrt{3}}{2}\Rightarrow h=r\sqrt{3}\\\\h-R=r\sqrt{3}-R$

$sen60^\circ=\frac{r}{R}\Rightarrow r=\frac{R\sqrt{3}}{2}$

$sen60^\circ=\frac{r}{R}\Rightarrow r=\frac{R\sqrt{3}}{2}\\\\h=r\sqrt{3}\Rightarrow h=\frac{R\sqrt{3}}{2}.\sqrt{3}\Rightarrow h=\frac{3R}{2}$

Sendo a razão entre áreas igual ao quadrado da razão de semelhança teremos:

$\frac{S'}{S}=\left(\frac{R-d}{h}\right)^2 \Rightarrow \frac{\pi y^2}{\frac{\pi 3R^2}{4}}=\frac{(R-d)^2}{\frac{9R^2}{4}}\Rightarrow y^2=\frac{(R-d)^2}{3}$

Sendo a diferença das secções obtidas igual a $\pi m^2$ teremos:

$\pi (R^2-d^2)-\pi y^2=\pi m^2 \Rightarrow R^2-d^2-y^2=m^2$

Substituindo o valor de y teremos:

$R^2-d^2-\frac{(R^2-2Rd+d^2)}{3}=m^2\\\\3R^2-3d^2-R^2+2Rd-d^2=m^2\\\\\fbox{4d^2-2Rd=2R^2-3m^2}$

por **Elcioschin** Seg 14 Fev 2011, 18:44

Adriano

Todos nós do fórum estávamos sentindo sua falta (e de suas excelentes soluções)

Um grande abraço

Elcio

por **Eduardo Sicale** Seg 14 Fev 2011, 20:59

Adriano,

Concordo com o Elcio. Resoluções como essa são de tirar o chapéu! Parabéns e muito obrigado! Eduardo.

por **adriano tavares** Seg 14 Fev 2011, 23:19

Olá, Eduardo e mestre Elcio.

Eu estava um pouco sumido porque meio serviço estava meio corrido.Agora está um pouco mais tranquilo.

Um abraço e muito obrigado pelas palavras.