Cone inscrito em esfera

por **mauk03** Ter 21 Jan 2014, 00:16

Uma esfera de raio 4 cm circunscreve um cone equilátero. Um plano que secciona a esfera e o cone paralelamente à base do cone determina duas secções de tal modo que a diferença entre as áreas dessas secções é equivalente à área da base do cone. Calcule o volume do tronco de cone determinado por este plano.

Gabarito:

por **Elcioschin** Ter 21 Jan 2014, 12:42

Vou começar:

Esfera ---> R = 4

Cone ----> r, g, h, Sb

2.r = 2.R.cos30º ---> r = 4.(√3/2) ----> r = 2.√3

g = 2r ---> g = 4.√3

h = 2.r.cos30º ---. h = 2.(2.√3).(√3/2) ----> h = 6

Sb = pi.r² ----> Sb = pi.(2.√3)² ---> Sb = 12.pi

por **mauk03** Qua 22 Jan 2014, 12:31

Elcio, obrigado pela ajuda, mas essa parte eu já havia feito. O que não estou conseguindo fazer é visualizar geometricamente o problema com as condições dadas (não apenas os sólidos, mas tb o plano e as secções).

por **Euclides** Qua 22 Jan 2014, 15:06

Vê se ajuda

Cone inscrito em esfera Voac

por **mauk03** Qui 23 Jan 2014, 16:41

Obrigado Euclides.
Cone inscrito em esfera 4thz

Raio da base do cone: CH = 2√3 cm
Altura do cone: AH = (4√3)√3/2 = 6 cm
Raio da secção do cone: EF = r cm
Raio da secção da esfera: DF = x cm
Distância do vértice A ao plano: AF = y cm

Usando o teorema de Pitágoras no triângulo DOF:
4² = x² + (4 - y)² --> x² = 8y - y² (I)

Sendo os triângulos ACH e AEF semelhantes, tem-se:
AH/CH = AF/EF --> 6/2√3 = y/r --> y = √3r (II)
De (II) em (I) vem x² = 8√3r - 3r².

Como a diferença entre as áreas da secções da esfera e do cone é igual a área da base do cone:
(2√3)²π = x²π - r²π --> 12 = x² - r² --> 12 = 8√3r - 3r² - r² --> r² - 2√3r + 3 = 0 --> (r - √3)² = 0 --> r = √3 cm
Logo y = 3 cm.

O volume do tronco de cone é igual ao volume do cone inscrito menos o volume do cone de vértice A acima do plano. Assim:
V = (1/3).(2√3)²π.6 - (1/3).(√3)²π.3 = 21π cm³