Polinômios

Sobre o polinômio P(x) = x^5 -5x³ + 4x² -3x -2 podemos afirmar que:
 
a) x=2 não é raiz de P(x).
b) P(x) só admite raízes reais, sendo uma delas inteitra, duas racionais e duas irracionais.
c) P(x) admite uma única raiz real, sendo ela uma raiz inteira.
d) P(x) só admite raízes reais, sendo duas delas inteiras.
e) P(x) admite somente 3 raízes reais, sendo uma delas inteira e duas irracionais.

Prováveis raízes racionais seriam inteiras: - 2, - 1, 1, 2 ----> Teste

Sim, isso eu cheguei a ver, mas só o 2 é raiz! E não dá pra afirmar, com propriedade, sobre as outras 3. Eu baixei o grau por Briott Ruffini, mas aí no pol. de quarto grau não tem raízes inteiras. Fica muito difícil estipular a respeito das outras 4 raízes.

Conclusões que podem ser tiradas

1) As prováveis raízes racionais são inteiras (reais)
2) Só existe 1 raiz inteira ----> x = 2 ----> raiz real
3) Não existem outras raízes racionais. Temos então as possibilidades:

3.1)  Existem 4 raízes irracionais (são então 5 raízes reais)
3.2) Existem 2 raízes irracionais e 2 raízes complexas (são 3 reais)
3.3) Existem 4 raízes complexas (somente 1 real)

Alternativa A é falsa, pois x = 2 é uma raiz
Alternativa B é falsa, pois só existe uma raiz racional
Alternativa D é falsa, pois só existe uma raiz inteira

Vamos tentar o Teorema de Bolzano:

Para x = - 1 ----> P(-1) = 5
Para x = 0 ------> P(0) = -2 ----> Existe uma raiz irracional no intervalo (-1, 0)

Para x = - 3 ----> P(-3) = - 56
Para x = - 2 ----> P(-2) = 28 ----> Existe uma raiz irracional no intervalo (-3, -2)

Com isto já temos 3 raízes reais: uma inteira (x = 2) e duas irracionais

Alternativa C é falsa (veja acima)

Restou a alternativa E ---> verdadeira

Procede! Mto obrigadooo!!!