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Condição para divisão de Polinômios

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Condição para divisão de Polinômios Empty Condição para divisão de Polinômios

Mensagem por Davi Cesar Correia Jr. Ter 13 Ago 2013, 12:22

O polinômio

 Condição para divisão de Polinômios Gif

com n pertencente a N*, é divisível por P'(x) = x² + 1.

a) somente se 0 < theta < ou = pi/2
b) somente se pi/2 < theta < ou = pi
c) somente se theta for diferente de pi/2 + kpi/3
d) somente se n.theta for diferente de kpi
e) sempre

Eu encontrei theta = kpi/n, substituindo as raízes de P'(x) que sao i e -i em P(x) e entao igualei a zero; mas o gabarito diz ser a e). Como pode ser sempre?
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Condição para divisão de Polinômios Empty Re: Condição para divisão de Polinômios

Mensagem por Elcioschin Ter 13 Ago 2013, 13:47

P(x) = (cosθ + x.sen θ)^n - cos(n θ) - x,sen(n θ)

P(x) = cos(n θ) + (x^n),sen(n θ) - cos(n θ) - x.sen(n. θ)

P(x) = (x^n - x).sen(n θ)

P(x)/(x² + 1 = [(x^n - x)/(x² + 1)].sen(n.θ)

A divisão independe do valor de θ(pois está no numerador) ---> Alternativa E


Última edição por Elcioschin em Ter 13 Ago 2013, 21:22, editado 2 vez(es)
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Condição para divisão de Polinômios Empty Re: Condição para divisão de Polinômios

Mensagem por Davi Cesar Correia Jr. Ter 13 Ago 2013, 20:42

Mas então pra estabelecer a condiçao de um polinômio ser divisivel ou não, nesse caso, eu nao precisaria aplicar o teorema do resto ou alguma outra técnica?
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Condição para divisão de Polinômios Empty Re: Condição para divisão de Polinômios

Mensagem por Elcioschin Ter 13 Ago 2013, 21:32

Fazendo x = i

P(i) = (cosθ + i.sen(n.θ)^n - cos(n.θ) - i,sen(n.θ) ---->

P(i) = cos(n.θ) + i.sen(n.θ) - cos(n.θ) - i.sen(n.θ) ---->

P(i) = 0

Fazendo x = - i obtém-se o mesmo resultado P(-i) = 0
Isto significa que P(x) é divisível por (x + i).(x - 1) = x² + 1
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Condição para divisão de Polinômios Empty Re: Condição para divisão de Polinômios

Mensagem por Davi Cesar Correia Jr. Qua 14 Ago 2013, 10:37

Verdade!! Estava esquecendo de mudar o sinal no "segundo" seno, pois -(-i)sentheta = +isentheta, e nao negativo, como eu estava fazendo, que resultava em -2isentheta.
Obrigado, mais uma vez!!
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