Algoritmo Paramétrico para divisão de polinómios

Algoritmo Paramétrico para divisão de polinómios na forma [latex](x+\pi)[/latex] e obter resto zero

Sumário

A procura analítica por polinómios de resto zero é usualmente uma árdua tarefa de tentativa e erro, mas o seu resultado pode ser importante quando se pretende simplificar um polinómio através do produto de outros dois, pois chega-se a uma expressão mais simples que devolve resultados, seja pela redução do grau polinomial seja pelo corte de expressões que se anulam.

Este algoritmo pretende tornar o laborioso trabalho de encontrar um binómio divisor para uma tarefa mais fácil, prática e também mais objetiva.

Introdução

Um polinómio ou função polinomial é uma expressão sob a forma
\begin{equation*}
    P(x) = \lambda_{n}\, x^{n} \,+\, \lambda_{n-1}\, x^{n-1} \,+\, \lambda_{n-2}\, x^{n-2} \,+\, \lambda_{n-3}\, x^{n-3}\,+\, ...\, +\, \lambda_{3}\, x^{3} \,+\, \lambda_{2}\, x^{2} \,+\, \lambda_{1}\, x \,+\, \lambda_{0}
\end{equation*}
Qualquer polinómio é suscetível ao processo de divisão,
\begin{equation*}
    \frac{\text{dividendo}}{\text{divisor}} = \text{quociente} + \text{resto}
\end{equation*}
Querendo encontrar um binómio divisor do tipo [latex](x+\pi), \,\pi  \in \mathbb{Q}[/latex] , que devolva um quociente com um polinómio de grau inferior e resto zero, ou seja,
\begin{equation*}
    P'(x)=\lambda'_{n-1}\, x^{n-1} \,+\, \lambda'_{n-2}\, x^{n-2} \,+\, \lambda'_{n-3}\, x^{n-3} \,+\, \lambda'_{n-4}\, x^{n-4}\,+\, ...\, +\, \lambda'_{3}\, x^{3} \,+\, \lambda'_{2}\, x^{2} \,+\, \lambda'_{1}\, x \,+\, \lambda'_{0}
\end{equation*}
deve-se satisfazer o valor de [latex]\pi[latex] de modo a que se obtenha a igualdade
\begin{equation*}
\tag{1}
    P(x) = (x+\pi)\,P'(x)
\end{equation*}

Demonstração

Trabalhando com o segundo membro, desenvolve-se a expressão,

\begin{equation*}(x+\pi)\,P'(x) = xP'(x) + \pi P'(x) =\end{equation*}
\begin{equation*}= (x\lambda'_{n-1}\, x^{n-1} \,+\, x\lambda'_{n-2}\, x^{n-2} \,+\, x\lambda'_{n-3}\, x^{n-3} \,+\, x\lambda'_{n-4}\, x^{n-4}\,+\, ...\, +\, x\lambda'_{3}\, x^{3} \,+\, x\lambda'_{2}\, x^{2} \,+\, x\lambda'_{1}\, x \,+\, x\lambda'_{0}) \,+ \end{equation*}\begin{equation*}+\, (\pi\lambda'_{n-1}\, x^{n-1} \,+\, \pi\lambda'_{n-2}\, x^{n-2} \,+\, \pi\lambda'_{n-3}\, x^{n-3} \,+\, \pi\lambda'_{n-4}\, x^{n-4}\,+\, ...\, +\, \pi\lambda'_{3}\, x^{3} \,+\, \pi\lambda'_{2}\, x^{2} \,+\, \pi\lambda'_{1}\, x \,+\, \pi\lambda'_{0}) =\end{equation*}
Como uma das parcelas é [latex] x[/latex] a multiplicar pelo polinómio [latex] P'(x)[/latex], este sobre de grau,

\begin{equation*}= (\lambda'_{n-1}\, x^{n} \,+\, \lambda'_{n-2}\, x^{n-1} \,+\, \lambda'_{n-3}\, x^{n-2} \,+\, \lambda'_{n-4}\, x^{n-3}\,+\, ...\, +\, \lambda'_{3}\, x^{4} \,+\, \lambda'_{2}\, x^{3} \,+\, \lambda'_{1}\, x^{2} \,+\, \lambda'_{0}x) \,+\end{equation*}\begin{equation*}+\, (\pi\lambda'_{n-1}\, x^{n-1} \,+\, \pi\lambda'_{n-2}\, x^{n-2} \,+\, \pi\lambda'_{n-3}\, x^{n-3} \,+\, \pi\lambda'_{n-4}\, x^{n-4}\,+\, ...\, +\, \pi\lambda'_{3}\, x^{3} \,+\, \pi\lambda'_{2}\, x^{2} \,+\, \pi\lambda'_{1}\, x \,+\, \pi\lambda'_{0}) =\end{equation*}
Agrupando as incógnitas do mesmo grau,

\begin{equation*}= \lambda'_{n-1}\, x^{n} \,+\, (\lambda'_{n-2}\, x^{n-1} \,+\,\pi\lambda'_{n-1}\, x^{n-1}) \,+\, (\lambda'_{n-3}\, x^{n-2}  \,+\, \pi\lambda'_{n-2}\, x^{n-2}) \,+\, (\lambda'_{n-4}\, x^{n-3} \,+\, \pi\lambda'_{n-3}\, x^{n-3}) \,+\,\end{equation*}\begin{equation*}...\, +\, (\lambda'_{2}\, x^{3} \, +\, \pi\lambda'_{3}\, x^{3}) \,+\, (\lambda'_{1}\, x^{2} \,+\, \pi\lambda'_{2}\, x^{2}) \,+\, (\lambda'_{0}\,x \,+\, \pi\lambda'_{1}\, x) \,+\, \pi\lambda'_{0} =\end{equation*}
Colocando as incógnitas em evidência,

\begin{equation*}= \lambda'_{n-1}\, x^{n} \,+\, (\lambda'_{n-2} \,+\,\pi\lambda'_{n-1})\, x^{n-1} \,+\, (\lambda'_{n-3} \,+\, \pi\lambda'_{n-2})\, x^{n-2} \,+\, (\lambda'_{n-4} \,+\, \pi\lambda'_{n-3})\, x^{n-3} \,+\,...\end{equation*}\begin{equation*}...\, +\, (\lambda'_{2} \,+\, \pi\lambda'_{3})\, x^{3} \,+\, (\lambda'_{1} \,+\, \pi\lambda'_{2})\, x^{2} \,+\, (\lambda'_{0} \,+\, \pi\lambda'_{1})\,x \,+\, \pi\lambda'_{0}\end{equation*}

Daqui, igualam-se os termos de igual ordem do primeiro e segundo membro da equação,

[latex]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
\lambda_{n}\, x^{n} = \lambda'_{n-1}\, x^{n} \medskip \\
\lambda_{n-1}\, x^{n-1} = (\lambda'_{n-2} +\pi\lambda'_{n-1})\, x^{n-1} \medskip \\
\lambda_{n-2}\, x^{n-2} = (\lambda'_{n-3} + \pi\lambda'_{n-2})\, x^{n-2} \medskip \\
\lambda_{n-3}\, x^{n-3} = (\lambda'_{n-4} + \pi\lambda'_{n-3})\, x^{n-3} \medskip \\
\lambda_{n-4}\, x^{n-4} = (\lambda'_{n-5} + \pi\lambda'_{n-4})\, x^{n-4} \vspace{-1mm} \\
\vdots
\lambda_{4}\, x^{4} = (\lambda'_{3} + \pi\lambda'_{4})\, x^{4} \medskip \\
\lambda_{3}\, x^{3} = (\lambda'_{2} + \pi\lambda'_{3})\, x^{3} \medskip \\
\lambda_{2}\, x^{2} = (\lambda'_{1} + \pi\lambda'_{2})\, x^{2} \medskip \\
\lambda_{1}\, x = (\lambda'_{0} + \pi\lambda'_{1})\,x \medskip \\
\lambda_{0} = \pi\lambda'_{0} \medskip \\
\end{matrix}\right. \qquad \Leftrightarrow [/latex] [/latex] \qquad \left\{\begin{matrix}
\lambda_{n} = \lambda'_{n-1} \medskip \\
\lambda_{n-1} = \lambda'_{n-2} + \pi\lambda'_{n-1}  \medskip \\
\lambda_{n-2} = \lambda'_{n-3} + \pi\lambda'_{n-2} \medskip \\
\lambda_{n-3} = \lambda'_{n-4} + \pi\lambda'_{n-3} \medskip \\
\lambda_{n-4} = \lambda'_{n-5} + \pi\lambda'_{n-4} \\
\vdots
\lambda_{4} = \lambda'_{3} + \pi\lambda'_{4} \medskip \\
\lambda_{3} = \lambda'_{2} + \pi\lambda'_{3} \medskip \\
\lambda_{2} = \lambda'_{1} + \pi\lambda'_{2} \medskip \\
\lambda_{1} = \lambda'_{0} + \pi\lambda'_{1} \medskip \\
\lambda_{0} = \pi\lambda'_{0} \medskip \\
\end{matrix}\right. \qquad \text{(I)} \quad \Leftrightarrow[/latex]

Igualando os coeficientes [/latex]\lambda'[/latex] por ordem crescente,

[latex]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
\displaystyle \lambda'_{0} = \frac{\lambda_{0}}{\pi} \medskip \\
\displaystyle \lambda'_{1} = \frac{\lambda_{1} - \lambda'_{0}}{\pi} \medskip \\
\displaystyle \lambda'_{2} = \frac{\lambda_{2} - \lambda'_{1}}{\pi} \medskip \\
\displaystyle \lambda'_{3} = \frac{\lambda_{3} - \lambda'_{2}}{\pi} \medskip \\
\displaystyle \lambda'_{4} = \frac{\lambda_{4} - \lambda'_{3}}{\pi}  \\
\vdots
\displaystyle \lambda'_{n-4} = \frac{\lambda_{n-4} - \lambda'_{n-5}}{\pi} \medskip \\
\displaystyle \lambda'_{n-3} = \frac{\lambda_{n-3} - \lambda'_{n-4}}{\pi} \medskip \\
\displaystyle \lambda'_{n-2} = \frac{\lambda_{n-2} - \lambda'_{n-3}}{\pi} \medskip \\
\displaystyle \lambda'_{n-1} = \frac{\lambda_{n-1} - \lambda'_{n-2}}{\pi} = \lambda_{n} \medskip \\
\displaystyle \lambda'_{n} = \frac{\lambda_{n} - \lambda'_{n-1}}{\pi} \medskip \\
\end{matrix}\right. \qquad \text{(II)} [/latex]


Estas equações paramétricas mostram os coeficientes do polinómio quociente[/latex] P'(x)[/latex] que satisfazem a condição inicial, [latex]P(x)=(x+\pi)\,P'(x)[/latex], quando o polinómio dividendo [latex] P(x)[/latex] é dividido por um binómio divisor na forma[/latex] (x+\pi)[/latex] com resto zero.

Como [latex]\pi[/latex] tende a ser um número inteiro (mas não necessariamente), o algoritmo paramétrico em oposição à regra de Ruffini permite logo selecionar quais os números inteiros, [latex](x+\pi), \,\pi  \in \mathbb{Z}[/latex], que podem ser solução das equações paramétricas geradoras de [latex] P'(x)[/latex], pois logo a primeira equação, [latex] \displaystyle \lambda'_{0} = \frac{\lambda_{0}}{\pi}[/latex], implica forçosamente um número inteiro, ou seja, um mínimo múltiplo comum com[/latex] \lambda_0[/latex].

Este algoritmo permite verificar qual o valor de [latex] \pi[/latex] sem ter de completar todos os cálculos sobre os coeficientes, ao contrário da regra de Ruffini, bastando parar quando não se obtém um número inteiro. Pode-se também verificar que o coeficiente de maior grau do polinómio [latex] P'(x), \, \lambda'_{n-1}[/latex], é igual ao coeficiente de maior grau do polinómio [latex] P(x), \, \lambda_n[/latex], tal como esperado (verifica-se noutros métodos de divisão). Podemos ver também que como [latex] P'(x)[/latex] é um grau inferior a [latex] P(x)[/latex], o termo [latex] \lambda'_n[/latex] é igual a zero, pelo que a última equação paramétrica serve de controlo, já que o seu resultado tem de ser forçosamente nulo, [latex] \lambda_{n} - \lambda'_{n-1} =0[/latex].

Exemplos

Verifiquemos a seguinte equação polinomial:
\begin{equation*}
\tag{A}
    P(x) = 2x^4 + 5x^3 + 7x^2 + 3x -1
\end{equation*}
O coeficiente [latex] \lambda_0[/latex] é [latex]-1[latex], então o valor de [latex] \pi[/latex] poderá ser [latex] \left\{-1,1\right\}[/latex]. Verifiquemos,

[latex] \left\{\begin{matrix}
\pi \rightarrow -1  \medskip \\
\displaystyle \lambda'_{0} = \frac{-1}{-1} = 1 \medskip \\
\displaystyle \lambda'_{1} = \frac{3-1}{-1} = -2 \medskip \\
\displaystyle \lambda'_{2} = \frac{7+2}{-1} = -9 \medskip \\
\displaystyle \lambda'_{3} = \frac{5+9}{-1} = -14 \medskip \\
\displaystyle \lambda'_{4} = \frac{2+14}{-1} = -16 \medskip \\
\end{matrix}\right. \qquad \qquad \qquad \left\{\begin{matrix}
\pi \rightarrow 1 \medskip \\
\displaystyle \lambda'_{0} = \frac{-1}{1} = -1 \medskip \\
\displaystyle \lambda'_{1} = \frac{3-1}{1} = 4 \medskip \\
\displaystyle \lambda'_{2} = \frac{7-4}{1} = 3 \medskip \\
\displaystyle \lambda'_{3} = \frac{5-3}{1} = 2 \medskip \\
\displaystyle \lambda'_{4} = \frac{2-2}{1} = 0 \medskip \\
\end{matrix}\right. [/latex]

Uma vez que [latex] \lambda'_3 = \lambda_4[/latex] ou [latex] \lambda'_4 = 0[/latex], então o binómio divisor terá [latex] \pi = 1[/latex] e pode-ser verificar a seguinte igualdade em relação ao polinómio dividendo, [latex]P(x) = (x+1)(2x^3 + 3x^2 + 4x -1)[/latex].



Seguindo com outro exemplo, podemos constatar que este algoritmo para procurar quocientes de resto zero (ou seja, raízes do polinómio dividendo) é mais pragmático e eficiente que a regra de Ruffini. Considerando a seguinte função,

\begin{equation*}
\tag{B}
    P(x) = 2x^4 - 15x^3 - 23x^2 -38x + 18
\end{equation*}
conhecendo as propriedades paramétricas do algoritmo, sendo [latex] \lambda_0 = 18[/latex], então o binómio [latex] (x+\pi)[/latex] terá um [latex] \pi \in \left\{\pm1,\pm2,\pm3,\pm6,\pm9,\pm18 \right\}[latex]. Verificando as soluções possíveis, encontramos

[latex]\left\{\begin{matrix}
\pi \rightarrow -9 \medskip \\
\displaystyle \lambda'_{0} = \frac{18}{-9} = -2  \medskip \\
\displaystyle \lambda'_{1} = \frac{-38+2}{-9} = 4 \medskip \\
\displaystyle \lambda'_{2} = \frac{-23-4}{-9} = 3 \medskip \\
\displaystyle \lambda'_{3} = \frac{-15-3}{-9} = 2 \medskip \\
\displaystyle \lambda'_{4} = \frac{2-2}{-9} = 0  \medskip \\
\end{matrix}\right.[/latex]

Que devolve [latex] P(x) = (x-9)(2x^3+3x^2+4x-2)[/latex].

Embora trabalhoso, pois analiticamente há um conjunto de soluções possíveis que têm de ser verificadas, é possível logo à partida delimitar o intervalo de procura e excluir alguns pares que de outro modo teriam de ser verificados, neste caso [latex] \left\{\pm4,\pm5,\pm7,\pm8\right\}[/latex], que constituiriam 50% do esforço em análise.

Quanto maior o grau do polinómio, [latex]n[latex], e maior o termo independente, [latex]\lambda_0[latex], maior tenderá a ser o esforço analítico, como em qualquer outro algoritmo de divisão polinomial.


Note-se que essa não é uma regra. O polinómio [latex] x^8-4x^7+x^6+5x^5+6x^4-10x^3+3x^2+12x-20[/latex] tem um [latex]\pi=-2[latex]. O polinómio [latex] 4x^8-24x^7+37x^6-24x^5+7x^4+34x^3+8x^2-56x+96[/latex] tem um [latex]\pi=-4[latex]. Há uma dilatação do conjunto de soluções possíveis, mas não necessariamente do volume de cálculo.

Monómio do Resto

Uma propriedade que o algoritmo paramétrico devolve em oposição a outras ferramentas de divisão polinomial é o monómio do resto: enquanto os restantes algoritmos devolvem o monómio de menor grau, um coeficiente sem variável (ou [latex]x^0[latex]), este devolve o monómio de maior grau, o coeficiente de [latex]x^n[latex].

Repare-se que a procura por um monómio divisor que dê resto zero começa com a procura de um mínimo múltiplo comum do termo de menor grau do polinómio dividendo ,[latex] \lambda_0[/latex], mas o par [latex] \left\{\pm1\right\}[/latex] será sempre uma solução possível, já que devolverá sempre números inteiros, pelo que o coeficiente de maior grau do polinómio quociente, [latex] \lambda'_n[/latex], que é zero quando o resto é zero, não será nulo. Por exemplo, no polinómio anterior (B), cujo [latex] \pi=-9[/latex], ao proceder ao algoritmo para [latex] \pi = \left\{\pm1\right\}[/latex], irão obter-se coeficientes inteiros que não fornecerão um [latex] \lambda'_n[/latex] nulo, já que o par [latex]\left\{\pm1\right\}[latex] não é solução para resto zero. Assim, a igualdade que deu início ao algoritmo paramétrico (1), que subentende resto zero, deve ser reescrita como
\begin{equation}
\tag{2}
    P(x) = (x+\pi)\, P'(x) + R
\end{equation}
com um [latex]R[latex] relacionado ao coeficiente de maior grau do polinómio quociente, [latex]\lambda'_n[latex]. Quando é nulo, a equação (2) ganha a forma em (1). Deve-se então perceber que valor toma [latex]R[latex] quando é não nulo. Olhando para as equações paramétricas em (I), a primeira equação tem subentendida uma parcela nula e que não foi escrita, mas seguindo a sequência numérica das outras equações pode-se completar o padrão escrevendo [latex]\lambda_n = \lambda'_{n-1} + \pi\lambda'_n[/latex], com [latex]\pi\lambda'_n = 0[/latex] quando procuramos quocientes de resto zero (que é o interesse deste algoritmo para divisão de polinómios). Então, a última parcela da equação paramétrica é o valor do resto, pelo que (2) se pode reescrever
\begin{equation}
\tag{3}
    P(x) = (x+\pi)\, P'(x) + \pi\lambda'_n
\end{equation}
Realizando o algoritmo para o polinómio (B) no conjunto [latex]\left\{\pm1\right\}[/latex] temos,


[latex] \left\{\begin{matrix}
\pi \rightarrow -1  \medskip \\
\displaystyle \lambda'_{0} = \frac{18}{-1} = -18    \medskip \\
\displaystyle \lambda'_{1} = \frac{-38+18}{-1} = 20 \medskip \\
\displaystyle \lambda'_{2} = \frac{-23-20}{-1} = 43 \medskip \\
\displaystyle \lambda'_{3} = \frac{-15-43}{-1} = 58 \medskip \\
\displaystyle \lambda'_{4} = \frac{2-58}{-1} = 56   \medskip \\
\end{matrix}\right. \qquad \qquad \qquad \left\{\begin{matrix}
\pi \rightarrow 1 \medskip \\
\displaystyle \lambda'_{0} = \frac{18}{1} = 18 \medskip \\
\displaystyle \lambda'_{1} = \frac{-38-18}{1} = -56 \medskip \\
\displaystyle \lambda'_{2} = \frac{-23+56}{1} = 33 \medskip \\
\displaystyle \lambda'_{3} = \frac{-15-33}{1} = -48 \medskip \\
\displaystyle \lambda'_{4} = \frac{2+48}{1} = 50 \medskip \\
\end{matrix}\right. [/latex]

Escrevendo as soluções, fica
\begin{equation*}
\begin{gathered}
    \pi \rightarrow -1  \Longrightarrow P(x) = (x-1)(58x^3+43x^2+20x-18) - 56x^4 \\   
    \pi \rightarrow 1  \Longrightarrow P(x) = (x+1)(-48x^3+33x^2-56x+18) + 50x^4
\end{gathered}
\end{equation*}

Polinómios Incompletos

Como seria de esperar, o algoritmo paramétrico mantém-se válido quando os polinómios têm coeficientes nulos e por conseguinte termos omissos. Segue-se exemplo,
\begin{equation*}
\tag{C}    
    P(x) = 5x^4-3x^2+x-1
\end{equation*}
Como [latex]\lambda_0=-1[/latex], então [latex]\pi = \left\{\pm1\right\}[/latex]:

[latex] \left\{\begin{matrix}
\pi \rightarrow -1  \medskip \\
\displaystyle \lambda'_{0} = \frac{-1}{-1} = 1 \medskip \\
\displaystyle \lambda'_{1} = \frac{1-1}{-1} = 0 \medskip \\
\displaystyle \lambda'_{2} = \frac{-3-0}{-1} = 3 \medskip \\
\displaystyle \lambda'_{3} = \frac{0-3}{-1} = 3 \medskip \\
\displaystyle \lambda'_{4} = \frac{5-3}{-1} = -2 \medskip \\
\end{matrix}\right. \qquad \qquad \quad \left\{\begin{matrix}
\pi \rightarrow 1 \medskip \\
\displaystyle \lambda'_{0} = \frac{-1}{1} = -1 \medskip \\
\displaystyle \lambda'_{1} = \frac{1+1}{1} = 2 \medskip \\
\displaystyle \lambda'_{2} = \frac{-3-2}{1} = -5 \medskip \\
\displaystyle \lambda'_{3} = \frac{0+5}{1} = 5 \medskip \\
\displaystyle \lambda'_{4} = \frac{5-5}{1} = 0 \medskip \\
\end{matrix}\right. [/latex]

Portanto
\begin{align*}
& \pi \rightarrow -1  \Longrightarrow P(x) = (x-1)(3x^3+3x^2+x-1) + 2x^4 \\
& \pi \rightarrow 1  \Longrightarrow P(x) = (x+1)(5x^3-5x^2+2x-1)
\end{align*}

Neste caso houve um aumento do monómios, que pode ou não ser útil, mas nem sempre é assim e obtém-se uma simplificação, que é sempre desejada:
\begin{equation*}
\tag{D}
    P(x) = x^4+x^3+x+1
\end{equation*}
Sendo [latex]\lambda_0=1[/latex], logo [latex]\pi = \left\{\pm1\right\}[/latex]:

[latex] \left\{\begin{matrix}
\pi \rightarrow -1  \medskip \\
\displaystyle \lambda'_{0} = \frac{1}{-1} = -1 \medskip \\
\displaystyle \lambda'_{1} = \frac{1+1}{-1} = -2 \medskip \\
\displaystyle \lambda'_{2} = \frac{0+2}{-1} = -2 \medskip \\
\displaystyle \lambda'_{3} = \frac{1+2}{-1} = -3 \medskip \\
\displaystyle \lambda'_{4} = \frac{1+3}{-1} = -4 \medskip \\
\end{matrix}\right. \qquad \qquad \qquad \left\{\begin{matrix}
\pi \rightarrow 1 \medskip \\
\displaystyle \lambda'_{0} = \frac{1}{1} = 1 \medskip \\
\displaystyle \lambda'_{1} = \frac{1-1}{1} = 0 \medskip \\
\displaystyle \lambda'_{2} = \frac{0-0}{1} = 0 \medskip \\
\displaystyle \lambda'_{3} = \frac{1-0}{1} = 1 \medskip \\
\displaystyle \lambda'_{4} = \frac{1-1}{1} = 0 \medskip \\
\end{matrix}\right. [/latex]

Então
\begin{align*}
& \pi \rightarrow -1  \Longrightarrow P(x) = (x-1)(-3x^3-2x^2-2x-x) + 4x^4 \\
& \pi \rightarrow 1  \Longrightarrow P(x) = (x+1)(x^3+1)
\end{align*}

π fracionário

O mesmo se dá com números fracionários, embora o trabalho da descoberta seja maior, como em qualquer método analítico não automatizado. Sendo
\begin{equation*}
\tag{E}
    P(x) = 2x^4+x^3-4x-2
\end{equation*}

Como [latex]\lambda_0 = -2[/latex], então [latex]\pi= \left\{\pm1,\pm2\right\}[/latex], mas este conjunto não devolve um resto igual a zero, mas antes um [latex]\pi\lambda'_n[/latex], pelo que não há solução com [latex]\pi  \in \mathbb{Z}[/latex]. Procurando solução no conjunto dos números facionários, [latex]\mathbb{Q}[/latex], encontramos um [latex]\pi=\frac{1}{2}[/latex] que devolve resto zero.
[latex] \left\{\begin{matrix}
\displaystyle \pi \rightarrow \frac{1}{2}  \medskip \\
\lambda'_{0} = 2\,(-2) = -4 \medskip \\
\lambda'_{1} = 2\,(-4+4) = 0 \medskip \\
\lambda'_{2} = 2\,(0-0) = 0 \medskip \\
\lambda'_{3} = 2\,(1-0) = 2 \medskip \\
\lambda'_{4} = 2\,(2-2) = 0 \medskip \\
\end{matrix*}\right.[/latex]
Verifica-se então [latex] \pi \rightarrow \frac{1}{2}  \Longrightarrow P(x) = (x+\frac{1}{2})(2x^3-4) [/latex].

O algoritmo embora válido para [latex] \forall\, \pi\! \in\! \mathbb{Q}[/latex], a procura analítica pode ser exaustiva e não devolver uma solução mesmo quando ela exista, então deve-se recorrer a outros métodos de divisão polinomial ou a ferramentas gráficas, como o teorema do resto.