Bissetriz

Em relação a um sistema ortogonal de coordenadas, A=(0,0,1), B=(1,2,1) e C=(1,0,1). Obtenha a equação paramétrica da bissetriz interna ao triângulo ABC, relativa ao vértice C.

Gabarito:



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CA = (-1,0,0) ; CB = (0,2,0) seja CP a bissetriz interna relativa a C, então:
u(CP) = u(CA) + u(CB) , onde u é vetor unitário
u(CP) = (-1/1,0/1 , 0/1) + (0/2, 2/2 , 0/2)
u(CP) = (-1,1,0)
então o vetor diretor da bissetriz é (-1,1,0) , e como passa pelo ponto C (1,0,1) a equação da reta é:
x = -t + 1
y = t
z = 1

Porque u(CP) = u(CA) + u(CB) ?

Adam Zunoeta escreveu:Porque u(CP) = u(CA) + u(CB) ?

A soma de dois vetores unitários tem a mesma direção da bissetriz. Vc pode provar isso pegando dois vetores unitários formando um ângulo qualquer 2x (faça o desenho) daí pela regra do paralelogramo obtemos um losango (já que os dois vetores tem mesmo módulo ) , note que os dois triângulos formados são congruentes (critério LLL), cada ângulo então vale x , logo a resultante é a bissetriz que é a soma dos dois vetores.

Obrigado Luck
 
 
Caso os vetores não fossem unitários, haveria alguma forma prática de calcular o vetor diretor CP?

Adam Zunoeta escreveu:Obrigado Luck
 
 
Caso os vetores não fossem unitários, haveria alguma forma prática de calcular o vetor diretor CP?

Adam, acho que vc nao entendeu.. os vetores calculados no exercício não precisam ser unitários ( pode ser qualquer vetor). Usei o unitário como ferramenta para achar a direção da bissetriz (vetor diretor) como expliquei na última mensagem. Pra calcular o vetor unitário basta pegar as coordenadas do vetor e dividir pelo seu módulo, no caso , o vetor CB por exemplo, tem coordenadas (0,2,0)  e módulo 2 ,então  seu vetor unitário vale uCB (0/2 , 2/2 , 0/2) = (0,1,0) ;  acho esse o modo mais rápido, é mais comum no R3 ,entretanto , também pode ser usado no R2. Outro modo, lembrando de geo. plana, é usando o teorema da bissetriz interna:

Pelo teorema da bissetriz interna :|AP|/|PB| = |CA|/|CB| = k
|AP|/|PB| = 1/2 = k , sendo k a razão da seção, AP/PB = k 
(P-A)/(B - P) = k  , 
P - A = Bk - Pk
P = (Bk + A)/(1+k) 
então temos P = [(1,2,1)(1/2) + (0,0,1)] / (1+1/2)
P = (1/2 +0 , 2+0 , 1+ 1)/(3/2)
P = (1/3, 2/3 , 1)

CP = P-C
CP = (-2/3 , 2/3 , 0 ) =  (-1,1,0)
C pertence a reta:
x = -t +1
y = t
z = 1

Pelo teorema da bissetriz interna :|AP|/|PB| = |CA|/|CB| = k
|AP|/|PB| = 1/2 = k , sendo k a razão da seção, AP/PB = k 
(P-A)/(B - P) = k  ,  ---> Aqui

...


Eu acho que a relação em vermelho não é válida, um contra-exemplo:



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Adam Zunoeta escreveu:Pelo teorema da bissetriz interna :|AP|/|PB| = |CA|/|CB| = k
|AP|/|PB| = 1/2 = k , sendo k a razão da seção, AP/PB = k 
(P-A)/(B - P) = k  ,  ---> Aqui

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Eu acho que a relação em vermelho não é válida, um contra-exemplo:



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A relação nao está errada.. cuidado com os sentidos dos vetores Adam, na relação eu fiz AP/PB = k e não AP/BP = k , isto quer dizer que o ponto P divide o segmento  AB na razão k , ja o módulo vc  pode inverter que nao altera o valor , os vetores nao..

Obrigado Luck