Aérea laterla do cilindo com polinômio [ EN ]

por ASPIRA 11 Qui 04 Jul 2013, 11:54

Um tanque de combustível tem a forma de um cilindro circular reto e sua altura mede 3
metros. O raio da base do cilindro vale, em metros, o dobro da soma dos cubos dos inversos das raízes da equação x4 + 4x3 + 8x2 + 8x + 4 = 0. A área lateral do
tanque em m2, mede:

a) 6∏
b) 12∏
c) 18∏
d) 36∏
e) 48∏

resp: D

por Luck Qui 04 Jul 2013, 16:42

x^4 + 4x³ + 8x² + 8x + 4 = 0
Por polinômios simétricos:
Sn = a1S(n-1) - a2S(n-2) + a3S(n-3) -a4S(n-4) , onde a1,a2,a3,a4 são obtidos por girard (a1= soma das raízes, a2 = soma dos produtos dois a dois, ...), entao temos:
S0 = 4
S1 =a1 = -4
S2 = a1² - 2a2 = (-4)² - 2.8 = 0
S(-1) = a3/a4 = (-8 )/(4) = -2 , S(-3) = ?
Sn = -4S(n-1) -8S(n-2) -8S(n-3) - 4S(n-4)
S2 = -4S1 -8S0 - 8S(-1) - 4S(-2)
4S(-2) = -4.(-4) -8.4 -8.(-2) - 0
4S(-2) = 16 -32 + 16 ∴ S(-2) = 0

S(1) = -4S0 - 8S(-1) -8S(-2) - 4S(-3)
4S(-3) = -4.4 -8.(-2) -8.0 - (-4)
4S(-3) = 4 ∴ S(-3) = 1
Logo R = 2m
Al = 2piRL
Al = 2pi.2.3 = 12 pi m² , letra b.
se nao errei conta o gabarito ta errado..

por **aryleudo** Qui 04 Jul 2013, 16:48

ASPIRA 11 escreveu:Um tanque de combustível tem a forma de um cilindro circular reto e sua altura mede 3
metros. O raio da base do cilindro vale, em metros, o dobro da soma dos cubos dos inversos das raízes da equação x4 + 4x3 + 8x2 + 8x + 4 = 0. A área lateral do
tanque em m2, mede:

a) 6∏
b) 12∏
c) 18∏
d) 36∏
e) 48∏

resp: D

x⁴ + 4x³ + 8x² + 8x + 4 = 0

(x² + 2x + 2)² = 0

x² + 2x + 2 = 0

∆ = 2² - 4.1.2 = 4 - 8 = -4

x = [-2 ± V(-4)]/2.1

x = [-2 ± 2i]/2

x' = -1 + i

x'' = -1 - i

OBS.:

SOMA = x' + x'' = -1 + i + (-1 - i) = -1 + i - 1 - i = -2

PRODUTO = x'x'' = (-1 + i)(-1 - i) = (-1)² - (i)² = 1 - (-1) = 2

Encontrando o raio da base (R):
R = 2.(1/x'³ + 1/x''³) = 2(x'³ + x''³)/(x'x'')³
R = 2.[(x' + x'')³ - 3x'x''(x' + x'')]/(x'x'')³
R = 2.[(-2)³ - 3.2.(-2)]/(2)³
R = 2.[-8 + 12]/(2)³
R = 2.4/8
R = 1 m

CONCLUA...

por Luck Qui 04 Jul 2013, 17:04

aryleudo escreveu:
ASPIRA 11 escreveu:Um tanque de combustível tem a forma de um cilindro circular reto e sua altura mede 3
metros. O raio da base do cilindro vale, em metros, o dobro da soma dos cubos dos inversos das raízes da equação x4 + 4x3 + 8x2 + 8x + 4 = 0. A área lateral do
tanque em m2, mede:

a) 6∏
b) 12∏
c) 18∏
d) 36∏
e) 48∏

resp: D

x⁴ + 4x³ + 8x² + 8x + 4 = 0

(x² + 2x + 2)² = 0

x² + 2x + 2 = 0

∆ = 2² - 4.1.2 = 4 - 8 = -4

x = [-2 ± V(-4)]/2.1

x = [-2 ± 2i]/2

x' = -1 + i

x'' = -1 - i

OBS.:

SOMA = x' + x'' = -1 + i + (-1 - i) = -1 + i - 1 - i = -2

PRODUTO = x'x'' = (-1 + i)(-1 - i) = (-1)² - (i)² = 1 - (-1) = 2

Encontrando o raio da base (R):
R = 2.(1/x'³ + 1/x''³) = 2(x'³ + x''³)/(x'x'')³
R = 2.[(x' + x'')³ - 3x'x''(x' + x'')]/(x'x'')³
R = 2.[(-2)³ - 3.2.(-2)]/(2)³
R = 2.[-8 + 12]/(2)³
R = 2.4/8
R = 1 m

CONCLUA...

Olá Ary, boa visão do quadrado perfeito! O problema é que sao quatro raízes, (-1+i) e (-1-i) são raízes duplas ( entao a soma é -4) , a soma ,produto, soma dos produtos dois a dois , e três a três podem ser obtidas diretamente por girard, mas por esse caminho da fatoração acho que seria muito trabalhoso achar o inverso dos cubos...