integral .

Lembre-se de que:

∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C

x + 1 ≡ u

u² . u^1/2= u^5/2

∫uⁿ du = uⁿ⁺¹/(n+1) + C

du = d(x+1) = dx

∫u^5/2 du =2 u^7/2/7 + C

∫(x+1)^5/2 dx =(2/7) (x+1)^7/2  +  C ■

Rihan, na raiz é x^2 + 1

É mesmo !!! !!!

Cadê meus óculos !!!! :cyclops: ????

Affff !!!

Não vou fazer essa não ... É enorme !

Vai dar função hiperbólica ! Tô fora !

Hahaha, eu pensei em expandir o trinômio e ver como fica. 



Logo menos posto uma tentativa
 A do meio está na cara, mas as outras são meio chatinhas. Será que saem por partes? A primeira tentei deixar com cara de Regra da Cadeia, mas não deu.

 Outra coisa que talvez ajude: 

Isso não é assunto de EM, mas, vamos lá ......

Serve para que vejamos a importância das funções trigonométricas, pelo menos...

Então, Vamos Lá !!

1) Pede-se:

∫(1 + x)² √(x² + 1) dx = ?


2) Sabendo=se:

a) tan ≡ sen / cos

b) sec ≡ 1 / cos

c) 1 + tan² ≡ sec²

d) tan' = sec² ⇒ y = tan(x) ⇒ dy/dx = sec²(x) ⇒ dy = sec²(x) dx

e) sec' = sec tan ⇒ y = sec(x) ⇒ dy/dx = sec(x) tan(x) ⇒ dy = sec(x) tan(x) dx

f) ∫secⁿ = ( sec^(n-1) sen ) / (n - 1)  + (n -2) / (n-1) ∫sec^n-2 + C

g) ∫sec = ln|sec + tan| + C

h) f (f^-1(x) ) ≡ x

i) asenh(x) ≡ ln( x + √(1 + x²) )


3) Tem-se:

a) x  ≡ tan(u) ≡ tan ⇔ u = atan(x)

∫(1 + x)² √(x² + 1) dx = ∫(1 + tan)² √(tan² + 1) dx =


b) Por (2c) e (2d)

∫(1 + tan)² sec sec² du ≡ ∫(1 + tan² + 2tan)sec³  =

∫(sec² + 2tan)sec³ = ∫sec⁵ + 2∫sec³ tan


c) Pela fórmula de redução da secante (2f) e por (2e), vamos fazer o desenvolvimento para cada integral:

(i) 2∫sec³ tan = 2∫sec² sec tan

Fazendo-se:

v ≡ sec(u) ⇒

dv = sec(u) tan(u) du ⇒

du = dv / (sec(u) tan(u))

Substituindo-se:

2∫sec²(u) sec(u) tan(u) du = 2∫v² dv = 2v³ / 3 =

2sec³(u) / 3


(ii) ∫sec⁵  =  sec⁴sen / 4  + (3/4) ∫sec³  =

De (2f), e, repetidamente:

( sec³ tan) / 4  + (3/4) ∫sec³ =

( sec³ tan) / 4  + (3/4) [ sec tan /2  +  (1/2) ∫sec ] =

De (2g):

sec³(u) tan(u) / 4  + 3[ sec(u) tan(u) /2  +  (1/2) ln( sec(u) +tan(u) )  ] / 4


(iii) Somando-se o resultado de (i) e (ii):

2sec³(u) / 3 + sec³(u) tan(u) / 4 + 3sec(u) tan(u) / 8 + 3ln( sec(u) + tan(u) ) / 8

Ou, com m.m.c.:

(1/24) ( 16sec³(u) + 6sec³(u) tan(u)  + 9sec(u) tan(u) + 9ln( sec(u) + tan(u) )  + C


(iv) Substituindo-se u:

u = atan(x)

E, ainda, calculando-se as composições das funções e inversas:

De  (2h):

tan( atan(x) ) = x

E de  (2c):

w = sec(atan(x))

w² = sec²(atan(x)) = 1 + tan²(atan(x)) =  1 + ( tan(atan(x)) )² = 1 + x²

w = √(1 + x²)

Chega-se a:

(1/24) ( 16(1+x²)^3/2 + 6(1+x²)^3/2 x  + 9(1+x²)^1/2 x + 9ln((1+x²)^1/2 + x )  + C

Ou:

(1/24) ( √(1 + x²)(6x³ + 16x² + 15x + 16) + 9ln( x + √(1 + x²) )  + C

Ou, por (2i ):

(1/24) ( √(1 + x²) ( 6x³ + 16x² + 15x + 16 ) + 9asenh(x) )  + C



Puf !!!

:uti: 

Never More !!!

Alguém podia verificar, derivando, né ?

Deixo como exercício para Super Giiiiii !!!!!!!

O Mestre Wolfram já verificou pra mim !!!

Está certinha !!!!    !!!!

 Isso é assunto do Cálculo I?

É sim Giiovanna a professora pediu para terminar em casa mas não havia conseguido, e mestre rihan muitoo obrigada pela sua ajuda eu vi o tanto que foi trabalhoso obrigada mesmo.