Soma de coeficientes

A soma dos coeficientes dos termos de ordem ímpar de (x-y)^n é 256. Determine n. 

Gabarito: 9

Soma dos coeficientes de ordem ímpar. é dado por
é Si = 2^(m-1)
2^(m -1) = 256

deixando em bases iguais
2^(m - 1) = 2^8

m - 1 = 8
m = 9

Wilson

Suponho que você partiu do fato de que a soma dos termos de ordem par e ímpar são numericamente iguais. 
Logo, a soma individual desses termos (par e ímpar) fica dada por:

2^m/2 = 2^m - 2^1 = 2^m-1 

Gostaria que me explicasse ou demonstrasse essa propriedade (a soma dos termos de ordem par é igual aos de ordem ímpar). Até parece ser óbvio, mas não estou conseguindo enxergar. 

Obrigado 

Olá Gabriel.
acho que esse artigo já responde sua pergunta.

http://www.webvestiba.com.br/app/Files/AP._2_MATEM%C3%81TICA_2_Demo.pdf

foi daí que tive o primeiro contato com binômio de newton.
fica bem fácil de enxergar.

abraços

Olá Gabriel, você diz que a Soma dos coeficientes de ordem ímpar. é dado por Si = 2^(m-1), por favor de onde saiu essa propriedade? (x-y) não seria (1.1-1.1)^n? isso não daria 0^n?

saviocosta escreveu:Olá Gabriel, você diz que a Soma dos coeficientes de ordem ímpar. é dado por Si = 2^(m-1), por favor de onde saiu essa propriedade? (x-y) não seria (1.1-1.1)^n? isso não daria 0^n?

Os termos de ordem ímpar são o 1º, 3º, 5º etc, de forma que o denominador do fator binominal (normalmente conhecido como p) vai ser sempre par.
Dessa forma, considerando só os termos de ordem ímpar, a soma é Cn,p * 1^(n-p) * (-1)^p com p = {0, 2, 4, ...}

Observe que, nos termos de ordem ímpar, p é sempre zero ou par, então o (-1) se converte em (+1) em todas as parcelas.
Para efeitos práticos, então, é o mesmo que perguntar qual é a soma dos termos de ordem ímpar de (x+y)^n.

Aí fica fácil:  [(1 + 1) ^ n] / 2 = 256.

O lado esquerdo dividi por 2 porque o exercício pede somente os ímpares, que são metade do conjunto.

2 ^ n / 2 = 256
2 ^ (n-1) = 256
(n-1) * ln2 = ln256
n-1 = ln256 / ln 2 = 8
n = 8 + 1 = 9

Gabriel:

"Gostaria que me explicasse ou demonstrasse essa propriedade (a soma dos termos de ordem par é igual aos de ordem ímpar)."


Pensei assim:




Gabriel, espero ter te ajudado.


oferadagaita, seu raciocínio foi bom.

Só uma ressalva.
Quando você diz:
"O lado esquerdo dividi por 2 porque o exercício pede somente os ímpares, que são metade do conjunto."

Os ímpares não são metade do conjunto(dos coeficientes binomiais) se n for par.

A soma dos coeficientes de ordem ímpar é a metade de 2ⁿ , para n maior ou igual a 1 (da segunda linha em diante no triângulo de Pascal),

Uma prava, falta muita tecnicidade, mas resolve. 


agora considerando:

2^n-1 = 256 => n-1 = 8 => n=9.

Apenas para comprovar, para n = 9

Os coeficientes de (x - y)⁹ são:

1, -9, 36, -84, 126, -126, 84, -36, 9, -1 --> em verde os termos do ordem ímpar

1 + 36 + 126 + 84 + 9 = 256

Note que os termos de ordem par tem a mesma soma,  com valor negativo.