Geometria analitica

por lassilva Qui 27 Jun 2013, 20:43

Sejam A = (−1, 0) , B = (−1/2, 2) e C = (2, 1). Determine os pontos médios dos lados do triângulo ABC e mostre que a soma dos vetores representados pelas medianas do triângulo é igual a 0 . Esta propriedade é válida em qualquer outro triângulo?

por **Jose Carlos** Sex 28 Jun 2013, 10:30

- marque quaisquer três pontos A, B e C no plano coordenado

A( xA, yA )
B( xB, yB )
C( xC, yC )

- sejam:

M1 -> ponto médio do segmento AB
M2 -> ponto médio do segmento BC
M3 -> ponto médio do segmento AC

M1( (xA+xB)/2 , (yA+yB)/2 )
M2( (xB+xC)/2 , (yB+yC)/2 )
M3( (xA+xC)/2 , (yA+yC)/2 )

- sejam os vetores:

CM1 = ( M1 - C ) = ( (xA+xB)/2 - xC , (yA+yB)/2 - yC )

CM1( (xA+xB-2*xC)/2 , (yA+yB)/2 - yC )

CM1( (xA+xB-2*xC)/2 , (yA+yB-2*yC)/2 ) (I)

AM2 = ( M2 - A ) = ( (xB+xC)/2 - xA , (yB+yC)/2 - yA )

AM2( (xB+xC-2*xA)/2 , (yB+yC) - 2*yA )

AM2( (xA+xB-2*xC)/2 , (yA+yB-2*yC)/2 ) (II)

BM3 = ( M3 - B ) = ( (xA+xC)/2 - xB , (yA+yC)/2 - yB )

BM3( (xA+xC-2*xB)/2 , (yA+yB)/2 - yB )

BM3( (xA+xB-2*xC)/2 , (yA+yB-2*yC)/2 ) (III)

(I) + (II) + (III) :

( (xA + xB - 2*xC )/2 + ( xB+xC - 2*xA )/2 + ( xA + xC - 2*xB )/2 ;

(yA + yB+2*yC)/2 + yB+yC-2*yA)/2 + (yA+yC-2*yB)/2 ) =

= ( ( xA+xB-2*xC+xB+xC-2*xA + xA+xC-2*xB )/2 ; (yA+yB-2*yC+yB+yC-2*yA + yA+yC-2*yB )/2 ) =

= ( (xA-2*xA+xA + xB+xB-2*xB - 2*xC+xC+xC)/2 ; (yA-2*yA+yA + yB+yB-2*yB +

- 2*yC+yC+yC)/2 )= ( 0, 0 )

temos então que a propriedade é válida para qualquer triângulo.

- com os pontos dados basta substituir.

por lassilva Sex 28 Jun 2013, 20:49

Seja ABC um triângulo no plano e seja G o seu baricentro. Mostre
que:
AG = 2/3AX
BG = 2/3BY e CG = 2/3 CZ onde X, Y e Z são os pontos médios dos lados BC, AC e AB respectivamente.