Partições (combinatória)

Separam-se os números inteiros de 1 a 10 em dois conjuntos de 5 elementos, de modo que 1 e 8 não estejam no mesmo conjunto. De quantos modos isso pode ser feito? 

Gabarito: 70


Fixamos o elemento 8 nas partições e escolhemos outros 4 elementos dentre 8 (já que o 1 não pode comparecer) para formar a sequência.
A dúvida é a seguinte: podemos considerar os conjuntos de 5 elementos elementos como partições ordenadas ou não ordenadas do conjunto de 10 elementos? 

Se as partições forem ordenadas, temos de fato C8,4 . C5,5 = 70.1 = 70. 
Se não são ordenadas, teríamos 70/2! = 35, que não bate com o gabarito.

Mas isso significa {(1,2,3,4,5);(6,7,8,9,10)} é diferente de {(6,7,8,9,10);(1,2,3,4,5)}. Porém, os conjuntos não são distinguíveis um do outro. Se fosse o conjunto A e o conjunto B, eu entenderia. Então, quando as partições não vão ser ordenadas?

Como resolver esse impasse? 

Hm, acho que entendi sua dúvida. Por exemplo, temos o conjunto 1 e o conjunto 2.

No primeiro colocamos o número 1 e no segundo o número 8. Restam 8 números, então para o primeiro temos:

1 x C4,8

e para o segundo:

1 x C4,4

= 70.

Mas na real eu acabaria fazendo outra coisa. Assim como pode ser 1 no primeiro e 8 no segundo, o contrário também.

E acabaria dobrando esse valor

Então os conjuntos são distinguíveis? Ou seja, colocar 1 no primeiro e 8 no segundo é diferente de colocar 8 no primeiro e 1 no segundo?

Se trocarmos o 1 pelo 8 não estaríamos repetindo as sequências anteriores?

Por isso já basta fazer um cálculo.

O enunciado não solicita que os conjuntos seja distinguíveis

Assim colocamos o 1 num deles e o 8 no outro

Restam 8 números para serem distribuídos e 4 possibilidades em cada conjunto.

Para um dos conjuntos ---> C(8, 4) = 70
Já foram colocados 2 + 4 = 6 números, restando 4 para ocupar as 4 vagas do outro ---> C(4, 4) = 1

Total = 70*1 = 70

Elcio, estou com uma dúvida muito cruel. Me ajuda?

Quando eu preciso dividir as combinações pelo número de  subconjuntos de cada combinação fatorial? 

Por exemplo: formar 3 grupos de 4 pessoas em um grupo de 12 pessoas. 
As partições são ordenadas ou não ordenadas? Isto é, a partição {(A,B,C,D),(E,F,G,H),(I,J,K,L)} é diferente da partição {(A,B,C,D),(I,J,K,L),(E,F,G,H)} ?

Obrigado.

Você divide quando a questão falar que precisa.
Nesse teu exemplo precisa, pois a sequência dos grupos não importa.
A relação entre os grupos pode ser: 
ABC, ACB, CBA, CAB, BAC, BCA.
Aqui dividimos, o grupo não importa, importa que façam parte de algum grupo. Não dividiria se a questão falasse alguma identificação para os grupos.

Mas agora se a questão falar que quer fixo elas se diferenciarão.
Ex.: se você quer dividir essas 12 pessoas nos quartos A,B e C, cada um com 4 membros. Agora a ordem entre os grupos importa.
Se os integrantes do grupo A forem parar no grupo B  e do B no A, a sequência será diferente, pois outros membros estarão no quarto A e B.

FAÇA exercícios do livro, assim como eu tive essa dúvida e consegui resolve-la fazendo exercícios. Caso eu não conseguisse, veria a resposta e tentaria encontrar alguma lógica com os dados.