Determine II

por Chronoss Dom 23 Jun 2013, 17:16

Uma função f , de ℝ em ℝ , é tal que para todo a , a ∈ ℝ , e todo b , b ∈ ℝ, tem-se:

$f(\, a\: +\: b\, )\, =\, f(a)\: \, +\, \: f(b)$

a) Determine f(0) .
b) Verifique que f é ímpar .
c) Se f(1) = k , determine f(n) , n ∈ ℕ* .

por Luck Dom 23 Jun 2013, 23:46

a = 0 , b = 0 :
f(0+0) = f(0) + f(0) ∴ f(0) = 0
a= x , b = -x
f(0) = f(x) + f(-x) ∴ f(x) = -f(-x) , logo f é ímpar.
b = a :
f(2a) = 2f(a) , a = 1:
f(2) = 2f(1) ∴ f(2) = 2k
f(2 + 1) = f(2) + f(1) ∴ f(3) = 3k
f(2+2) = f(2) + f(2) ∴ f(4) = 4k
...
f(n) = nk ( hipótese), indução:
n -> n +1 , f(n+1) = (n+1) k

f(n+1) = f(n) + f(1)
f(n+1) = nk + k
f(n+1) = (n+1) k

por Chronoss Seg 24 Jun 2013, 09:29

Obrigado Luck , achei essa questão estranha pois o tópico indução não foi abordado ainda pelo livro , há alguma outra maneira de se interpretar a questão?

por Luck Seg 24 Jun 2013, 14:23

Chronoss escreveu:
Obrigado Luck , achei essa questão estranha pois o tópico indução não foi abordado ainda pelo livro , há alguma outra maneira de se interpretar a questão?

Para resolver a questão é fácil ver (após testados os primeiros valores) que f(n) = nk , eu só fiz indução para provar que realmente é válido.