demonstre (divisibilidade)

por spawnftw Dom 23 Jun 2013, 05:12

Relembrando a primeira mensagem :

Se n $\epsilon \ \ \mathbb{N}^*$ demonstre que $\mathbf{n^3\ + \ 5n}$ é divisível por 9.

por **Euclides** Dom 23 Jun 2013, 19:23

A proposição está errada. Não funciona para n=1,3,4,5,6,8...... e basta apenas um contra exemplo para derrubar.

por **JOAO [ITA]** Dom 23 Jun 2013, 22:30

JOAO [ITA] escreveu:Você não pode afirmar que no produto N = (n - 2).n.(n + 2) um dos números
(n - 2), n ou (n + 2) é divisível por 9 (isso é mostrado facilmente com um exemplo).

Na sua demonstração você teria que demonstrar para cada caso do sistema de restos mód 9.

1)Se n ≡ 0 (mód 9) => n.(n + 2).(n - 2) ≡ 0 (mód 9) => N ≡ 0 (mód 9).
2)Se n ≡ 1 (mód 9) => n + 2 ≡ 3 (mód 9) e n - 2 ≡ -1 ≡ 8 (mód 9) =>
=> (n - 2).n.(n + 2) ≡ 8.1.3 ≡ 24 ≠ 0 (mód 9)

Conclusão:É impossível que (n³ + 5.n) seja divisível por 9 para qualquer n ∈ ℕ*.
Isso também se mostra facilmente com um exemplo.
Seja n = 3: n³ + 5.n = 42 ≠ 0 (mód 9).