Limite

por Convidado Ter 28 maio 2013, 17:54

Pela definição, qual é a derivada de:
$f(x)=e^{3x}$
Utilizando também e sabendo que $\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\frac{e^{\Delta x}-1}{\Delta x}=1$ .

Tentei o seguinte ( $\Delta x = h$ ):
$\lim _{h\rightarrow 0} \frac{e^{3x+h}-e^{3x}}{h}=\lim _{h\rightarrow 0} \frac{e^{3x}(e^{h}-1)}{h}=\lim _{h\rightarrow 0} e^{3x}\cdot \lim _{h\rightarrow 0}\frac{(e^{h}-1)}{h} = e^{3x}\cdot 1 = e^{3x}$

"Gabarito": $3e^{3x}$ - Wolfram Alpha.

por **aryleudo** Ter 28 maio 2013, 18:16

$\\ \underset{\Delta x \to 0}{\lim}\frac{f(x +\Delta x)-f(x)}{\Delta x}= \underset{\Delta x \to 0}{\lim}\frac{e^{3(x +\Delta x)}-e^{3x}}{\Delta x} = \underset{\Delta x \to 0}{\lim}\frac{e^{3x}\cdot (e^{3\Delta x}-1)}{\Delta x}\\\\ \underset{\Delta x \to 0}{\lim}\frac{f(x +\Delta x)-f(x)}{\Delta x}= \underset{\Delta x \to 0}{\lim}e^{3x}\cdot\underset{\Delta x \to 0}{\lim}\frac{ (e^{3\Delta x}-1)}{\Delta x}=e^{3x}\cdot ln(e^3)\\\\ \boxed{\underset{\Delta x \to 0}{\lim}\frac{f(x +\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=3e^{3x}}$

Fonte: http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2009/07/demonstracao-derivada-da-funcao.html
..........Fundamentos de Matemática Elementar Vol. 8
P.S.:
$\underset{\Delta x \to 0}{\lim}\frac{f(x +\Delta x)-f(x)}{\Delta x}= \underset{\Delta x \to 0}{\lim}\frac{ [e^{3\Delta x}-1]}{\Delta x}= \frac{ [(e^3)^{\Delta x}-1]}{\Delta x}=\ln(e^3)=\boxed{3}$

por Convidado Ter 28 maio 2013, 18:36

Muito obrigado. Gostei da resposta, dando referências. É o seguinte: iniciei Cálculo I agora na faculdade, ainda não vimos as regras de derivação, é possível mostrar isso sem utilizar tais regras?

por **aryleudo** Ter 28 maio 2013, 18:39

Veja "Fundamentos de Matemática Elementar Vol. 8" ele trabalha só com conceitos de limites.

Boa sorte! Very Happy

por Conteúdo patrocinado

Limite

Limite

Re: Limite

Re: Limite

Re: Limite

Re: Limite

Um fórum livre e democrático.