Simulado Turma - Ime Ita

Seja ABC um triângulo com AB=BC. Sabendo que D é o ponto médio de BC, seja E um ponto pertencente ao lado AC de tal modo que DE é perpendicular ao lado AC. Se F é o ponto médio do segmento DE. Prove que AF é perpendicular a BE.


Obrigado.

Faça um desenho do triângulo num sistema xOy, com A na origem e C no eixo x:

Sejam θ = BÂC = B^CA e AB = BC = 2b ----> BD = CD = b

Seja H o pé da perpendicular de B sobre AC ----> AH = CH = AH.cosθ ----> AH = CH = 2bcosθ ----> EH = EC = bcosθ

BH = ABsenθ ----> BH = 2bsenθ

A(0, 0), B(2bcosθ, 2bsenθ), C(4bcosθ. 0), D(3bcosθ, bsenθ), E(3bcosθ, 0), F(3bcosθ, bsenθ/2)

Equação da reta AF ----> y - 0 = [(bsenθ/2)/3bcosθ].(x - 0) ----> y = (tgθ/6).x ----> I

Equação da reta BE ----> y - 0 = - (2bsenθ/bcosθ).(x - 3bcosθ) ----> y = - 2tgθ.x + 6bsenθ

As duas retas NÃO são perpendiculares.

Por favor, confira minhas contas e o enunciado