Turma IME ITA pH

por dlemos Sáb 15 Dez 2012, 15:33

Dadas três cordas de um mesmo circulo(a, b e c), sabe-se que c=a+b.Logo se a subentende um arco de 30º e b subentende um arco de 90º determine o valor do arco que c subentende.

por **Robson Jr.** Sáb 15 Dez 2012, 16:07

Ligue o centro do círculo aos extremos de cada uma dessas cordas; teremos triângulos isósceles.

Pitágoras no triângulo de lados R, R e a:

$\small a^2=R^2+R^2 \Rightarrow a=R\sqrt{2}$

Lei dos cossenos no triângulo de lados R, R e b:

$\small b^2=R^2+R^2-2.R.R.\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow b= R\sqrt{2-\sqrt{3}}$

Lei dos cossenos no triângulo de lados R, R e c = a + b:

$\small \\ \left ( R\sqrt{2}+R\sqrt{2-\sqrt{3}} \right )^2=2R^2-2R^2.cos(\theta) \Leftrightarrow \ 4-\sqrt{3}+\sqrt{4-2\sqrt{3}}=2(1-cos(\theta)) \\$

É fácil ver que (4 - 2√3) = (√3 - 1)². Substituindo:

$\small cos(\theta)=-\frac{1}{2} \Rightarrow \theta=120º$

por dlemos Sáb 15 Dez 2012, 16:17

Valeu Robson!não estava conseguindo perceber que (4 - 2√3) = (√3 - 1)²... Ps:vc só trocou a por b, mas do no mesmo! Very Happy

por georgito Sáb 15 Dez 2012, 16:26

eu acho q o jeito que eu pensei estava muito fácil, e errado, mas:
b----90º
a----30º
c=a+b ---> c = 90 + 30 = 120º
é, estava muito óbvio pra ser correto, mas não sei, estou postando justamente por estar em dúvida

por **Robson Jr.** Sáb 15 Dez 2012, 16:40

Fácil não é sinônimo de errado. Sua relação pode estar certa, mas é preciso justificá-la.

por **Leonardo Sueiro** Sáb 15 Dez 2012, 17:08

Georgito, a relação é entre comprimentos e não entre ângulos

por dlemos Sáb 15 Dez 2012, 17:15

Mas nesse problema quando a relação entre comprimentos funcionou a de ângulos também...ficamos na duvida e se foi um caso isolado ou isso sempre ocorre...

por **Robson Jr.** Sáb 15 Dez 2012, 19:10

Sejam x e y duas cordas correspondentes a ângulos de 60º.

x ---- 60º
y ---- 60º

z = x + y = 120º

Ocorre que x e y formam triângulos equiláteros com os raios, logo x + y = 2R.

O diâmetro equivale a um arco de 180º, contradizendo os 120º.