Simulado ciclo 0 (TURMA IME)

por dlemos Sáb 16 Fev 2013, 19:31

Seja m inteiro positivo.Suponha que as retas de equaçoes 13x+11y=700 e y=mx-1 se intersectam em um ponto, cujas cordenadas são inteiras.Entao a soma dos quadrados dos divisores positivos de m é?

por danjr5 Sáb 16 Fev 2013, 21:26

Questão interessante!

Fiz por Cramer (determinantes).

- Calculemos o determinante...

$\\ \begin{cases} 13x + 11y = 700 \\ - mx + y = - 1 \end{cases} \\\\\\ \begin{vmatrix} 13 & 11 \\ - m & 1 \end{vmatrix} = D \\\\ \boxed{D = 13 + 11m}$

- Calculando $D_x$ :

$\\ \begin{vmatrix} 700 & - 1 \\ 11 & 1 \end{vmatrix} = D_x \\\\ D_x = 700 + 11 \\ \boxed{D_x = 711}$

- Calculando $D_y$ :

$\\ \begin{vmatrix} 13 & - m \\ 700 & - 1 \end{vmatrix} = D_y \\\\ D_y = - 13 + 700m \\ \boxed{D_y = 700 - 13}$

O valor da variável $x$ é dada por $x = \frac{D_x}{D}$ , então:

$\\ x = \frac{D_x}{D} \\\\\\ x = \frac{711}{13 + 11m} \\\\\\ x = \frac{9 \cdot 79}{13 + 11m}$

Para que $x$ seja um inteiro, temos: $\begin{cases} 13 + 11m = 9 \Rightarrow m = - \frac{4}{13} \\\\ 13 + 11m = 79 \Rightarrow \boxed{m = 6} \\\\ 13 + 11m = 711 \Rightarrow m = \frac{698}{11}\end{cases}$

Os divisores positivos de 6 são: {1, 2, 3, 6}.

Logo, a soma dos quadrados...

$\\ 1^2 + 2^2 + 3^2 + 6^2 = \\ \boxed{\boxed{\boxed{48}}}$

por Luck Sáb 16 Fev 2013, 21:41

Podia so substituir tb : 13x + 11(mx-1) = 700
13x + 11mx = 711
x(13 + 11m) = 711
x(13+11m) = 3²79
x = 3²79/(13+ 11m)

13 + 11m deve ser igual a 3 F, 9 F ,79 , 79.3 ou 79.9
13 + 11m = 79
m = 6 ok
13 + 11m = 79.3 , F (...)