Aritmética

seja n o maior número inteiro positivo para que n + 256 seja múltiplo de 625 e n + 625 seja múltiplo de 256 a quantidade de algarismos de n é

georges123 escreveu:seja n o maior número inteiro positivo para que n + 256 seja múltiplo de 625 e n + 625 seja múltiplo de 256 a quantidade de algarismos de n é

Boa noite, Georges.

Sejam "x" e "y" os coeficientes dos múltiplos de 625 e de 256, respectivamente; fica, pois:
n + 256 = 625x
n + 625 = 256y

n = 625x - 256 ..... (*)
n = 256y - 625 ..... (**)

625x - 256 = 256y - 625
256y - 625x = 625 - 256

256y - 625x = 369 → Equação Diofantina, onde mdc(256,625) = mdc(2⁸,5⁴) = 1 (primos entre si).

Resolvendo essa Equação Diofantina, vem:

256y = 369 + 625x
y = (369 + 625x)/256 ..... (I)

Separamos os quocientes fracionários dos quocientes inteiros:
y = 1 + 2x + (113 + 113x)/256
y = 1 + 2x + 113 * (1+x)/256

Como "y" e "x" devem ser inteiros, obviamente o quociente de (1+x)/256 deve sê-lo também!
Faremos, então, a fração do final igual a uma incógnita qualquer (à nossa escolha).
Fazendo-a igual a "m", fica:
(1+x)/256 = m
1+x = 256m
x = -1 + 256m ....... (II)

Fazendo, em (I), x = -1+256m, vem:
y = [369 + 625*(-1+256m)]/256 = (369 - 625 + 160000m)/256 = (-256 + 160000m)/256
y = -1 + 625m ....... (III)

Ora, "x" e "y", além de serem inteiros, também deverão ser positivos; portanto,

x → -1 + 256m > 0 → 256m > 1 → m > (1/256) → m > 0,0039 → m ≥ 1
y → -1 + 625m > 0 → 625m > 1 → m > (1/625) → m > 0,0016 → m ≥ 1

Fazendo m=1 nas fórmulas (II) e (III), obtém-se:
x = -1 + 256m = -1 + 256*1 = -1 + 256 → x = 255
y = -1 + 625m = -1 + 625*1 = -1 + 625 → y = 624

Finalmente, aplicando-se esses valores de "x" e "y" nas fórmulas iniciais (*) e (**), fica:
n = 625x - 256 = 625*255 - 256 = 159375 - 256 = 159119
n = 256y - 625 = 256*624 - 625 = 159744 - 625 = 159119

Assim, n tem 6 algarismos.




Um abraço.

Obrigado

georges123 escreveu:Obrigado

Bom dia, Georges.

Observando melhor o texto da sua questão notei que, em vez de "o maior número" o texto correto é "o menor número", pois esse problema tem infinitas soluções, das quais a solicitada é a primeira.

Confira na link abaixo:
http://www.tutorbrasil.com.br/forum/matematica-ensino-medio/aritmetica-t27819.html#p72741






Tenha um abençoado final de semana!