Aritmética Modular

Olá, alguém poderia esclarecer esta dúvida de Aritmética modular para mim? Obrigado.

Sabendo que n é múltiplo de 4, determine o resto da divisão de:



Eu tentei dessa forma:



A partir daí eu fiquei sem ideia...

Pedro Silveira escreveu:Olá, alguém poderia esclarecer esta dúvida de Aritmética modular para mim? Obrigado.

Sabendo que n é múltiplo de 4, determine o resto da divisão de:



Eu tentei dessa forma:



A partir daí eu fiquei sem ideia...

Boa noite, Pedro.

Como n=4k, fica:

1^4k ≡ 1 (mod 10)
2^4k ≡ 6 (mod 10) --> 2^4, 2^8, ... = 16, 256 ..............(sempre final 6)
3^4k ≡ 1 (mod 10) --> 3^4, 3^8, ... = 81, 6561 ............(sempre final 1)
4^4k ≡ 6 (mod 10) --> 4^4, 4^8, ... = 256, 65536 ........(sempre final 6)
5^4k ≡ 5 (mod 10) --> 5^4, 5^8, ... = 625, 390625 ......(sempre final 5)
6^4k ≡ 6 (mod 10) --> 6^4, 6^8, ... = 1296, 1679616 ...(sempre final 6)
7^4k ≡ 1 (mod 10) --> 7^4, 7^8, ... = 2401, 5764801 ...(sempre final 1)
8^4k ≡ 6 (mod 10) --> 8^4, 8^8, ... = 4096, 16777216 .(sempre final 6)
9^4k ≡ 1 (mod 10) --> 9^4, 9^8, ... = 6561, 43046721 .(sempre final 1)
-------------
soma = 33 ≡ 3(mod 10)




Um abraço.

Muito obrigado pela ajuda sr. ivomilton!

ivomilton escreveu:

Pedro Silveira escreveu:Olá, alguém poderia esclarecer esta dúvida de Aritmética modular para mim? Obrigado.

Sabendo que n é múltiplo de 4, determine o resto da divisão de:



Eu tentei dessa forma:



A partir daí eu fiquei sem ideia...

Boa noite, Pedro.

Como n=4k, fica:

1^4k ≡ 1 (mod 10)
2^4k ≡ 6 (mod 10) --> 2^4, 2^8, ... = 16, 256 ..............(sempre final 6)
3^4k ≡ 1 (mod 10) --> 3^4, 3^8, ... = 81, 6561 ............(sempre final 1)
4^4k ≡ 6 (mod 10) --> 4^4, 4^8, ... = 256, 65536 ........(sempre final 6)
5^4k ≡ 5 (mod 10) --> 5^4, 5^8, ... = 625, 390625 ......(sempre final 5)
6^4k ≡ 6 (mod 10) --> 6^4, 6^8, ... = 1296, 1679616 ...(sempre final 6)
7^4k ≡ 1 (mod 10) --> 7^4, 7^8, ... = 2401, 5764801 ...(sempre final 1)
8^4k ≡ 6 (mod 10) --> 8^4, 8^8, ... = 4096, 16777216 .(sempre final 6)
9^4k ≡ 1 (mod 10) --> 9^4, 9^8, ... = 6561, 43046721 .(sempre final 1)
-------------
soma = 33 ≡ 3(mod 10)




Um abraço.

Estou com uma dúvida, e no caso do numero ser elevado a 4*0 porque também faz parte de um múltiplo de 4, ex: 3^4*0 = 1 então seria o mesmo que dizer que 3 ≡ 1 (mod 10) já? porque 1 é congruente a 1 (mod 10)...

Pedro Silveira escreveu:

ivomilton escreveu:

Pedro Silveira escreveu:Olá, alguém poderia esclarecer esta dúvida de Aritmética modular para mim? Obrigado.

Sabendo que n é múltiplo de 4, determine o resto da divisão de:



Eu tentei dessa forma:



A partir daí eu fiquei sem ideia...

Boa noite, Pedro.

Como n=4k, fica:

1^4k ≡ 1 (mod 10)
2^4k ≡ 6 (mod 10) --> 2^4, 2^8, ... = 16, 256 ..............(sempre final 6)
3^4k ≡ 1 (mod 10) --> 3^4, 3^8, ... = 81, 6561 ............(sempre final 1)
4^4k ≡ 6 (mod 10) --> 4^4, 4^8, ... = 256, 65536 ........(sempre final 6)
5^4k ≡ 5 (mod 10) --> 5^4, 5^8, ... = 625, 390625 ......(sempre final 5)
6^4k ≡ 6 (mod 10) --> 6^4, 6^8, ... = 1296, 1679616 ...(sempre final 6)
7^4k ≡ 1 (mod 10) --> 7^4, 7^8, ... = 2401, 5764801 ...(sempre final 1)
8^4k ≡ 6 (mod 10) --> 8^4, 8^8, ... = 4096, 16777216 .(sempre final 6)
9^4k ≡ 1 (mod 10) --> 9^4, 9^8, ... = 6561, 43046721 .(sempre final 1)
-------------
soma = 33 ≡ 3(mod 10)




Um abraço.

Estou com uma dúvida, e no caso do numero ser elevado a 4*0 porque também faz parte de um múltiplo de 4, ex: 3^4*0 = 1 então seria o mesmo que dizer que 3 ≡ 1 (mod 10) já? porque 1 é congruente a 1 (mod 10)...

Bom dia, Pedro.

Mesmo tendo que considerar n=0 nesse cálculo, creio que o resultado final não mudaria, pois as enésimas potências de 1, 2, 3, ..., 9 seriam as mesmas, pois o que conta mesmo é determinar qual a enésima potência de cada número, desde o 1 até o 9:

1^4k ≡ 1 (mod 10)
2^4k ≡ 6 (mod 10) --> 2^0, 2^4, 2^8, ... = 1, 16, 256 ..............(sempre final 6)
3^4k ≡ 1 (mod 10) --> 3^0, 3^4, 3^8, ... = 1, 81, 6561 ............(sempre final 1)
4^4k ≡ 6 (mod 10) --> 4^0, 4^4, 4^8, ... = 1, 256, 65536 ........(sempre final 6)
5^4k ≡ 5 (mod 10) --> 5^0, 5^4, 5^8, ... = 1, 625, 390625 ......(sempre final 5)
6^4k ≡ 6 (mod 10) --> 6^0, 6^4, 6^8, ... = 1, 1296, 1679616 ...(sempre final 6)
7^4k ≡ 1 (mod 10) --> 7^0, 7^4, 7^8, ... = 1, 2401, 5764801 ...(sempre final 1)
8^4k ≡ 6 (mod 10) --> 8^0, 8^4, 8^8, ... = 1, 4096, 16777216 .(sempre final 6)
9^4k ≡ 1 (mod 10) --> 9^0, 9^4, 9^8, ... = 1, 6561, 43046721 .(sempre final 1)
-------------
soma = 33 ≡ 3(mod 10)




Um abraço.