Aritmética modular

por Armando Vieira Seg 06 Abr 2015, 18:27

Se k = 2²⁰¹⁰ + 2010². Então o valor das unidades de 2^k + k² adicionado a 3 é igual a:

a) 1
b) 2
c) 3
d) 5

Não tenho o gabarito, mas fiz uma tentativa e gostaria de saber se acertei, podem dar uma olhada?:

2⁰ = 1 ≡ 1 (mod 10)
2¹ = 2 ≡ 2 (mod 10)
2² = 4 ≡ 4 (mod 10)
2³ = 8 ≡ 8 (mod 10)
2⁴ = 16 ≡ 6 (mod 10)
2⁵ = 32 ≡ 2 (mod 10)
2⁶ = 64 ≡ 4 (mod 10)
               .
               .
               .
2²⁰¹⁰ ≡ 4 (mod 10)

2010² ≡ 0 (mod 10). Então:

2²⁰¹⁰ + 2010²≡ 4 + 0 (mod 10)
2²⁰¹⁰ + 2010²≡ 4 (mod 10)

2^K + K² = 2⁴ + 4² = 16 + 16 = 32 ≡ 2 (mod 10)

2 + 3 = 5
Letra D

por Armando Vieira Qui 09 Abr 2015, 19:47

:aad:

por **Carlos Adir** Qui 09 Abr 2015, 20:09

Observe que:
$\\\begin{cases} 2^1 \equiv 2 \pmod{10} \\ 2^{2} \equiv 4 \pmod{10} \\ 2^3 \equiv 8 \pmod{10} \\ 2^4 \equiv 6 \pmod{10} \\ 2^{5} \equiv 2 \pmod{10} \\ 2^{6} \equiv 4 \pmod{10}\\ \cdots \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}2^{4n+1} \equiv 2 \\ 2^{4n+2} \equiv 4 \\ 2^{4n+3} \equiv 8 \\ 2^{4n+4} \equiv 6 \end{cases}$
Então é necessário saber o valor de k modulo 4. Para então sabermos o valor das unidades de 2^k:
$\begin{cases}2^1 \equiv 2 \pmod{4} \\ 2^{2} \equiv 0 \pmod{4} \\ 2^{3} \equiv 0 \pmod {4} \\ \cdots \\ 2^{2010} \equiv 0 \pmod{4}\end{cases}$
e que:
$\\ 2010 \equiv 2 \pmod{4} \\ 2010^{2} \equiv 0 \pmod{4}$

Portanto, $k \equiv 0 \pmod{4}$

Portanto, 2^k se enquadra em 2^(4n+4). Ou seja:
$2^{k} \equiv 6 \pmod{10}$

Agora vamos à outra parte:
$\\ \begin{cases}2^{2010} \equiv 2^{4 \times 502} \cdot 2^{2} \equiv 6 \cdot 2^{2} \equiv 4 \pmod{10} \\ 2010 \equiv 0 \pmod{10} \Rightarrow 2010^2 \equiv 0 \pmod{10} \end{cases} \\ \Rightarrow k \equiv 4 \pmod{10} \Rightarrow k^2 \equiv 6 \pmod{10}$

Portanto, temos que:
$2^{k} + k^2 \equiv 6 + 6 \equiv 2 \pmod{10}$

Agora você completa. Smile

por Armando Vieira Sex 10 Abr 2015, 17:42

Cara, você é muito bom!!!
Muito obrigado!!!
Very Happy

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