Geometria - razão de áreas

por 2k3d Sáb 20 Abr 2013, 09:12

A figura abaixo consta de um hexágono formado por 24 triângulos equiláteros de lado 1 . A área sombreada é formada por três triângulos equiláteros de tamanhos distintos entre si . S é a área sombreada e B é a área não sombreada do hexágono , o valor de $\frac{B}{S}$ é :

https://2img.net/r/ihimizer/img835/9796/geometria2000.png

a) $\frac{11}{24}$

b) $\frac{15}{24}$

c) $\frac{9}{11}$

d) $\frac{13}{11}$

e) $\frac{15}{11}$

OBS : Não sei a resposta.

por FernandoPP- Sáb 20 Abr 2013, 11:47

- Sendo D a diagonal maior e d a diagonal menor do paralelogramo.
- D corresponde ao lado do triângulo equilátero maior.
- d corresponde ao lado do triângulo equilátero médio.

- Teorema dos Cossenos:

D²= 1² + 2² - 2×1×2×(-1/2)
D² = 5 + 2
D² = 7 ⇒ D = √7

d² = 1² + 2² - 2×1×2×(1/2)
d² = 5 - 2
d² = 3 ⇒ d = √3

- Área sombreada:

S = (√3)²×√3/4 + (√7)²×√3/4 + 1²×√3/4

S = 11√3/4

- Área total:

St = 24×√3/4 ⇒ St = 6√3

- Razão entre a área não sombreada e a área sombreada do hexágono:

Sn/S = (6√3 - 11√3/4)/(11√3/4)

Sn/S = (13√3/4)/(11√3/4)

S/Sn = 13/11

por **raimundo pereira** Sáb 20 Abr 2013, 11:51

1 Àrea total 24.L²V3/4=6V3
2 Àrea sobreada S1+S2+S3
S1 - área de um triângulo equilátero de lado 1-->V3/4
S2 - 3 vezes a metade da área de um losango(EFGH) de lado 1--->3V3/4
S3 - Àrea de um triângulo equilátero de lado igual a hipotenusa do triângulo retângulo ABC-->7V3/4
Àrea sombreada = 11V3/4

Subtraia a área sombreada da área total e encontrará o valor da área NÃO SOMBREADA=13V3/4

B/S=(13V3/4)/(11V3/4)---->13/11