Valor de m para retas coplanares

por zanker Ter 09 Abr 2013, 21:00

Determine o valor de m para que as retas r:{x= -1 {y= 3 e s: {y=4x-m {z=x sejam coplanares.

obs: Estou fazendo o produto escalar mas não estou chegando na resposta (R: m=-7 estou errando na determinação do vetor diretor.

por Luck Qua 10 Abr 2013, 00:24

Qual o z da reta r ? Para ser coplanares o produto misto de 3 vetores ( pegue o vetor diretor da reta r, da reta s, e um vetor P1P2 sendo P pontos que pertencem às retas) deve ser igual a zero: [u,v,w] = 0

por carlos.r Sáb 10 Jan 2015, 10:41

Olha, não sei se o raciocínio real é esse, mas o "z" da reta r é variável, podendo ser qual quer um, mas o vetor diretor de r é r=(0,0,z). Quando, fiz eu estava dando as coordenadas de r=(1,1,0). No entanto, não dava certo. Creio que esse é um caso particular de "Retas paralelas aos Planos e eixos Coordenados.
Fazendo z=1. temos r=(0,0,1) s=(1,4,1) e AsAr=(-1,3+m,0).
Logo, fazendo (r,s,AsAr)=0 m=-7.

por **Carlos Adir** Sáb 10 Jan 2015, 13:58

Quando se tem um valor fixo, a equação que se obtém é de plano.
Quando se tem dois valores fixos, a equação que se obtém é de uma reta.
No caso acima:
$\\ r: \ \ \ \begin{cases}x=-1 \\ y=3 \end{cases} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow r: \ \left(-1, 3, 0 \right )+t\cdot (0,0,1) \\ s: \ \ \ \begin{cases}y=4x-m \\ z=x \end{cases}\ \ \ \Rightarrow s: \ \left(0,-m,0 \right )+k\cdot \left(1, 4, 1 \right )$
Pela equação de vetor, sabe-se que já não são paralelas, e se são coplanares, então possuem um ponto de intersecção:
$\begin{cases}-1+0\cdot t=0+1 \cdot k\\ 3+0\cdot t = -m + 4 \cdot k \\ 0+ 1 \cdot t = 0 + 1 \cdot k \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}k=-1 \\ 3=-m+4 \cdot k \\ t=k \end{cases} \Rightarrow m=-7$