Olimpíada Canguru de Matemática

por **JOAO [ITA]** Qui 28 Mar 2013, 19:06

Existem quantos triângulos formados a partir dos vértices de um polígono regular de 13 lados de modo que o interior de cada um desses triângulos contenha o centro do circulo circunscrito ao polígono?

por Chronoss Qua 06 Nov 2013, 10:18

Acho que seria isso:

Para um vértice qualquer do polígono , digamos A₁ , temos que a Bissetriz do ângulo do mesmo é diâmetro da circunferência ; dividindo assim a mesma em dois semi círculos iguais , cada um contendo 6 vértices do polígono .

Logicamente se tomarmos o vértice A₁ e dois outros no mesmo semi círculo teremos por certo que o triângulo formado não contém o centro da circunferência ; logo para cada semi círculo temos C{6;2} possibilidades de escolha dos vértices restantes , e como temos 13 vértices , o número de triângulos que não contém o centro da circunferência é dado por :

13*C{6;2}

Assim , o número de triângulos que contém o centro da circunferência é igual ao total de triângulos que podemos formar com os 13 vértices do polígono menos o número de triângulos que não contém o centro da circunferência.

Que é dado por:
$\large C_{3}^{13}\: -\: 13\cdot C_{2}^{6}\: \: =\: \: \frac{13!}{3!\cdot 10!}\: -\: 13\cdot \left ( \frac{6!}{2!\cdot4!} \right )\: =\: 286-195\: =\: 91$

Logo , existem 91 triângulos .

Para uma possível generalização recorra a :

Spoiler:

onde postei a questão , pois não dispunha de tempo suficiente para estuda-la decentemente , e não estava confiante quanto a minha resposta .

Obs: Não possui o gabarito?

Olimpíada Canguru de Matemática

Olimpíada Canguru de Matemática

Re: Olimpíada Canguru de Matemática

Um fórum livre e democrático.