Números complexos- determine a potência

por Paulo2013 Dom 24 Mar 2013, 17:45

Determine a potência a seguir, colocando-a na forma algébrica através do teorema de Moivre:

a) (2+2i)^60

Spoiler:

por schow Dom 24 Mar 2013, 17:58

z = 2 + 2i
Módulo = V(2² + 2²) = 2V2
Angumento = π/4

Logo, usando teorema de moivre:
z = ρ.(cos θ + i.sen θ)
z = 2V2. (cos π/4 + i.sen π/4)
z^60 = (2V2)^60.(cos (60π/4) + i.sen (60π/4)
z^60 = 2^90. (cos 15π + i.sen 15π) --> 2^90. (cos π + i.sen π)
z^60 = 2^90.( -1 + 0.i) = - 2^90

por Paulo2013 Dom 24 Mar 2013, 18:11

Oi schow, obrigado pela resolução. Mas por quê o cos e o sen de 15pi virou apenas cos e sen de pi? confused

por Paulo2013 Dom 24 Mar 2013, 18:15

A ta, tirou a menor determinação, lembrei agora Razz

por schow Dom 24 Mar 2013, 18:21

Isso ocorre porque o ciclo retorna a esses valores de cos e sen.
É só ver isso:
sen 15 pi. Veja que: 15 pi/2pi --> Resto: pi (perceba que 2pi corresponde a uma volta no ciclo trigonométrico), ou seja, o ângulo 15 pi rad corresponde ao ângulo pi rad, porém com 7 voltas em torno do ciclo.

O mesmo ocorre com o cos 15pi. Por isso, fiz a transformação para ficar mais simples resolver a equação.