Determine dois números complexos

por lucasbarion Dom 24 Ago 2014, 20:55

(Fundamentos 6 - G. Iezzi - ex 59)

Determine dois números complexos z₁e z₂tais que |z₁| = 1, |z₂| = 1 e z₁+ z₂ = 1.

Resposta: z₁= 1/2 + i√3/2 e z₂ = 1/2 - i√3/2

OBS: já fiz "no braço" (forma algébrica), mas gostaria de uma resolução mais técnica, como por exemplo, usando o módulo, colocando os três números numa circunferência de raio 1, essas coisas. Obrigado

por PedroCunha Dom 24 Ago 2014, 23:57

Olá.

Seja z1 = a +bi, z2 = c+di

|z1| = 1 --> a²+b² = 1
|z2 = 1 --> c²+d² = 1

z1+z2 = 1 .:. (a+c) + i*(b+d) = 1

a = 1 - c
b = -d

a²+b² = c²+d² .:. (1-c)² + (-d)² = c²+d² .:. 1 - 2c + c² + d² = c² + d² .:.
c = 1/2 --> a = 1/2 --> b = √3/2 --> d = -√3/2

Assim, z1 = 1/2 + i*√3/2 e z2 = 1/2 - i*√3/2

Acho que não tem muita coisa que pode ser feita além disso não.