Que números complexos representam dois vértic

Que números complexos representam dois vértices de um triângulo equilátero inscrito numa circunferência de centro na origem, onde um dos três vértices do triângulo é dado por V1 = -2i?

Gabarito:

alguém sabe?

Não sei se vai ficar muito didático mas irei utilizar artifícios da geometria analítica.



Como o centro é na origem e um dos vértices é -2i, então a equação da circunferência fica:

x²+y²=4

Sendo P(0,-2), W(x1,y1) e Z(x2,y2) o ponto P pertencerá as 2 retas que formarão um triângulo equilátero. Então:

y+2=m.x

m₁=tg60º e m₂=tg120º -->m₁=√3 e m₂=-√3

(r1):y+2=√3.x --> y=√3.x-2  e (r2):y+2=-√3.x --> y=-√3.x-2

Achando os valores de x na (r1):

x²+y²=4
x²+(√3.x-2)²=4
x²+3.x²-4√3.x+4=4
4x²-4√3.x=0 
x=0 ou x=√3

Como x=0 é o valor de P, então W será:

y=√3.x-2 --> y=3-2=1 --> W=(√3,1)

Achando os valores de x na (r2):

x²+y²=4
x²+(-√3.x-2)²=4
x²+3.x²+4√3.x+4=4
4x²+4√3.x=0 
x=0 ou x=-√3

Como x=0 é o valor de P, então Z será:

y=-√3.x-2 --> y=3-2=1 --> Z=(-√3,1)

O x - eixo das abscissas - representa, no plano de Argand-Gauss, os números reais e o y - eixo das ordenadas - representa os números imaginários. Logo, os pontos serão W=√3+i e Z=-√3+i.

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Esdras, excelente explicação. Poderia me explicar uma coisinha que ficou em branco ? Por que fez m2 = 120 º ? Não deveríamos considerar todos os ângulos como sendo 60º, uma vez que se trata de um triângulo equilátero ? Obrigado.

Os três afixos dos números complexos estão separados entre si de 120º, de modo que 3.120º = 360º

Desenhe o afixo de V1 = - 2.i ---> ele está sobre o eixo imaginário negativo e tem módulo 2

Desenhe V2 no 1º quadrante, com mesmo módulo e fazendo 30º com o eixo real positivo

Desenhe V3 no 2º quadrante, com mesmo módulo e fazendo 30º com o eixo real pnegativo

Mestre, muito obrigado pela explicação. Eu supus também da seguinte forma: como um dos afixos já foi dado, e o outro está no 1º quadrante com eixo Re(z)>0, então o outro, automaticamente, teria que estar no eixo Re(Z)<0, uma vez que ele é simétrico em relação ao outro, tendo o mesmo eixo Im(Z) > 0.
Como saber disso ? Pois trata-se de um triângulo EQUILÁTERO.
Está certo pensar assim ?

Está certo sim: é exatamente o que eu fiz.

Muito obrigado, mestre.