Dilatação

Alguem pode me ajudar nessa?

)A figura a seguir ilustra uma esfera maciça de diâmetro L e uma barra de mesmo material com comprimento também igual a L, ambos a uma mesma temperatura inicial. Quando a temperatura dos dois corpos for elevada para um mesmo valor final, a razão entre o aumento do diâmetro da esfera e o aumento do comprimento da barra será:
a) 9/1
b) 1/3
c) 1/9
d) 1
e) 3/1

Imagem:

A dilatação linear do diâmetro L da esfera é a mesma dilatação linear da barra ----> Alternativa D

Prova ----> Esfera ----> V = (4/3).pi.(L/2)³ ----> V = (pi/6).L³

L' = L.(1 + α.∆θ)

V' = (pi/6).(L')³ ---> V' = (pi/6).L³.(1 + α.∆θ)³ ---> V' = V.(1 + 3.α.∆θ + 3α².∆θ² + α³.∆θ³ )

Como α é muito pequeno, α² e α³ podem ser desprezados:

V' = V.(1 + 3α.∆θ) -----> V' = V.(1 + γ.∆θ) ----> γ= 3α

Obrigado!! Mas eu não consegui entender a prova, existe outra forma de se provar isso ?

Não existe

A demonstração é clássica e requer apenas conhecimentos básicos de:

a) Geometria Espacial (Volume da esfera)
b) Fórmula de dilatação linear
c) Conhecimeno básico de como desprezar quantidade muito pequenas, quando comparada com outra.

Sugiro estudar a teoria sobre os assuntos que você não conhece

Mas supondo um eixo x cuja barra 'e horizontal, se a esfera e a barra sao feitos de um mesmo material(mesmo coeficiente de dilatacao), em relacao `a horizontal os dois vao aumentar igualmente; pois 2R=L ; (alfa)*L*(theta)=(alfa)*2R*(theta).

Conforme Elcioschin:

L' = L.(1 + α.∆θ);  L' É O VALOR DA BARRA APÓS A DILATAÇÃO;


AGORA PARA A ESFERA, ESTA DILATADA FICA,


V' = (pi/6).L³.(1 + g.∆θ)

ABRINDO MAIS O VOLUME DA ESFERA, ENCONTRAMOS,


(pi/6).L''³ = (pi/6).L³.(1 + g.∆θ) 


CORTANDO OS TERMOS QUE SÃO IGUAIS, E SABENDO QUE g = 3a,



L''³ = L³.(1 + 3.a.∆θ) 


PARA COMPARARMOS OS VALORES DE L' E L'', OU TOMAMOS A RAIZ CUBICA DE L'' OU ELEVAMOS L' À TERCEIRA POTÊNCIA, FOI O QUE O ELCIOSCHIN FEZ.


L'=[L(1 + α.∆θ)]³ ->L³.(1 + 3.α.∆θ + 3α².∆θ² + α³.∆θ³ ) ->L³.(1 + 3.a.∆θ)


LEMBREMO-NOS QUE a É UM TERMO DECIMAL, ESTES NÚMEROS QUANDO ELEVADOS À ALGUMA POTENCIA MAIOR QUE 1, FICAM AINDA MENORES, POR ISSO SÃO DESPREZADOS, RESTANDO SOMENTE O TERMO LINEAR (3.α.∆θ).




RESUMINDO:


L' = L³.(1 + 3.a.∆θ) BARRA


L'' = L³.(1 + 3.a.∆θ) ESFERA


L' = L'' -> L''/L' = 1