Divisibilidade

Determine um número de dois algarismos que dividido por 9 gera resto 3 e dividido por 11 gera resto 4.

RESPOSTA: 48

XY = 9a + 3 = 11b + 4

9a - 11b = 1 ----> a = (11b + 1)/9 ----> a = b + (2 b + 1)/9

Fazendo u = (2b + 1)/9 -----> b = (9u - 1)/2 ----> b = 4u + (u - 1)/2

Fazendo v = (u - 1)/2 ----> u = 2v + 1

b = [9u - 1]/2 ----> b = [9(2v + 1) - 1]/2 ----> b = 9v + 4

a = [11b + 1]/9 ----> a = [11(9v + 4) + 1]/9 ----> a = 11v + 5

10 =< XY =< 99

Limites de a -----> 10 =< 9a + 3 =< 99 ----> 7 =< 9a =< 96 ----> 7 =< 9(11v + 5) =< 96 ----> 7 =< 99v + 45 =< 96 ----> - 38 =< 99v =< 51 ---->

- 38/99 =< v =< 51/99 -----> O único número inteiro que atende, no interval, é v = 0

a = 11v + 5 ----> a = 11.0 + 5 ----> a = 5

b = 9v + 4 ----> b = 9.0 + 4 ----> b = 4

XY = 9a + 3 ----> XY = 9.5 + 3 ----> XY = 48
ou
XY = 11b + 4 ----> XY = 11*4 + 4 ----> XY = 48

Para saber mais sobre esta técnica ----> Ensino Médio - Álgebra -Equações Diofantinas - Elcioschin