Reta perpendicular à bissetriz

Dado um triângulo de vértices A(1,-1) B(3,1) C(-6,0),cujas retas suportes têm equação x-y-2=0 e x+7y+6=0;ache a equação da perpendicular traçada do vértice C à bissetriz do ângulo interno A.

Spoiler:

- reta por A( 1, - 1 ) e B( 3, 1 ) -> y = x - 2

- reta por A( 1, - 1 ) e C( - 6, 0 ) -> y = - (1/7)x - ( 6/7 )

- seja a circunferência de centro em A e raio igual a distância AB:

d²(A,B) = (3-1)² + ( 1+1 )² = 8 -> d(A,B) = 2*\/2

então:

( x - 1 )² + ( y + 1 )² = 8

x² - 2x + 1 + y² + 2y + 1 = 8

x² - 2x + y² + 2y - 6 = 0

- interseção da reta y = x - 2 com a circunferência:

B( 3, 1 )

- interseção da reta y = - (1/7 )x - ( 6/7 ) com a circunferência:

x² - 2x + [ - (1/7)x + (6/7) ]² + 2*[ - (1/7)x - (6/7) - 6 = 0

desenvolvendo temos:

25x² - 50x - 171 = 0

x = - 9/5 -> y = - 3/5 -> T( - 9/5, - 3/5 )

- ponto médio do segmento BT:

xM = 3/5

yM = 1/5

M( 3/5, 1/5 )

- reta por A e M:

y = - 3x + 2

- reta perpendicular a y = - 3x + 2 que passa pelo vértice C:

m = 1/3

y = (1/3)*( x + 6 )

- 3y + x + 6 = 0

Muito obrigado mestre!
Mas o senhor pode me dizer como resolver esta questão sem usar conceitos de circunferência ?

Tem sim, mas é trabalhoso:

1) Desenhe os pontos A, B, C num sistema xOy e trace o triângulo ABC
2) Seja P o ponto onde a reta AB cruza o eixo X
3) Trace a bissetriz do ângulo BÂC e seja Q o ponto onde ela corta o eixo x
4) Sejam os ângulos M = A^PC ----> M = 45º (coeficiente angular de AB = 1) e N = A^CP (N = arctg(1/7) ----> suplemento do ângulo do coeficiente angular de AC)
5) Seja Ô = A^QP

No triângulo APQ -----> M + N + Â = 180º ----> M + N = 180º - Â

tg(M + N) = tg(180º - A) ----> (tgM + tgN)/(1 - tgM.tgN) = - tgA ----> Substitua tgM = 1 e tgN = 1/7 e calcule tgA = - 4/3

A bisetriz divide  ao meio ----> tgA = 2.tg(A/2)/[1 - tg²(A/2)] ----> Calcule tg(A/2)

No triângulo APQ ----> M + Â/2 + Ô = 180 ----> M + Â/2 = 180º - Ô ---->

tg(M + Â/2) = - tgÔ ----> [tgM + tg(Â/2)]/[1 - tgM.tg(Â/2)] = - tgÔ -----> Calcule tgÔ

O coeficiente ângular da bissetriz vale - tgO

Equação da reta que passa por C e é perpendicular à bissetriz

y - yC = (-tgÔ).(x - xC) ----> Complete

Muito legal Elcio, obrigado.


Um abraço.