Cinemática

por mahriana Qua 20 Fev 2013, 14:09

Dispõe-se duas velas inteiras de mesmas dimensões mas feitas de materiais diferentes. Sabe-se que após serem acesas uma queima completamente em 3 horas e a outra em quatro horas .
Para cada uma delas o comprimento queimado por unidade de tempo é constante . Em que horário da tarde as duas velas devem ser acesas para que as 16 horas , o comprimento de uma seja igual a metade da outra ?

Spoiler:

por **aryleudo** Qua 20 Fev 2013, 14:51

Dispõe-se duas velas inteiras de mesmas dimensões mas feitas de materiais diferentes. Sabe-se que após serem acesas uma queima completamente em 3 horas e a outra em quatro horas. Para cada uma delas o comprimento queimado por unidade de tempo é constante. Em que horário da tarde as duas velas devem ser acesas para que as 16 horas, o comprimento de uma seja igual a metade da outra?

DADOS
h₀₁ = h₀₂ = h (altura inicial das duas velas)
v₁ = ? (velocidade de queima da vela 1)
v₂ = ? (velocidade de queima da vela 2)
v₁ > v₂
h₁(x) = h - v₁t (função horária do comprimento da vela 1)
h₂(x) = h - v₂t (função horária do comprimento da vela 2)
0 = h - v₁.3 --> v₁ = h/3 ----------------------------------------------(I)
0 = h - v₂.4 --> v₂ = h/4 ----------------------------------------------(II)
t₀ = ? (instante em que as velas foram acesas)
h₂(16 - t₀) = h - v₂(16 - t₀) = 2[h - v₁(16 - t₀)] -----------------------(III)

SOLUÇÃO
Substituindo (I) e (II) em (III):
h - v₂(16 - t₀) = 2[h - v₁(16 - t₀)]
h - (h/4)(16 - t₀) = 2[h - (h/3)(16 - t₀)]
h - 4h + ht₀/4 = 2h -[(2h)/3](16 - t₀)
-3h + ht₀/4 = 2h - 32h/3 + 2ht₀/3 ------------------------------------{Dividindo tudo por "h"}
-3 + t₀/4 = 2 - 32/3 + 2t₀/3 ------------------------------------------{Multiplicando tudo por "12"}
-36 + 3t₀ = 24 - 128 + 8t₀
3t₀ - 8t₀ = - 104 + 36
-5t₀ = -68 -------------------------------------------------------------{Multiplicando tudo por "-1"}
5t = 68
t = 13,6 h ou t = 13h 36min

por **Euclides** Qua 20 Fev 2013, 15:18

Um outro enfoque

Cinemática Avela_zpsc4f8244e

$\\v_1t=x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;v_2t=\frac{L+x}{2}\\\\\frac{Lt}{4}=x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{Lt}{3}=\frac{L+x}{2}\;\;\to\;\;\frac{2Lt}{3}-L=x\\\\\\\frac{Lt}{4}=\frac{2Lt}{3}-L\;\;\;\to\;\;\;\frac{2t}{3}-\frac{t}{4}=1\;\;\;\to\;\;\;t=2,4 \;h\\\\\\16-2,4=13,6\;\;\Rightarrow \;\;13h36min$

por **aryleudo** Qua 20 Fev 2013, 15:27

Você é muito didático Euclides... sempre busco me espelhar nas suas soluções. Mas, ainda, estou a anos-luz de distância de você em todo seu potencial criativo e inventivo!!! cheers

por **Euclides** Qua 20 Fev 2013, 15:30

Que é isso, meu amigo. Você é ótimo. O que eu faço é só me lembrar das minhas próprias dificuldades quando era aluno. Além disso gosto muito de imagens que são facilitadoras da compreensão.

por wbao Qua 17 Abr 2013, 07:47

Euclides, poderia me explicar o porquê de (L+x)/2? Não consegui entender.

por **Euclides** Qua 17 Abr 2013, 14:10

wbao escreveu:Euclides, poderia me explicar o porquê de (L+x)/2? Não consegui entender.

o comprimento do tôco de vela amarelo é metade do comprimento do tôco de vela marrom (enunciado). A distância indicada é

$\frac{L-x}{2}+x\Rightarrow \frac{L+x}{2}$

por Vanesa Pereira Sex 16 Jan 2015, 17:43

aryleudo escreveu:
Dispõe-se duas velas inteiras de mesmas dimensões mas feitas de materiais diferentes. Sabe-se que após serem acesas uma queima completamente em 3 horas e a outra em quatro horas. Para cada uma delas o comprimento queimado por unidade de tempo é constante. Em que horário da tarde as duas velas devem ser acesas para que as 16 horas, o comprimento de uma seja igual a metade da outra?
DADOS
h₀₁ = h₀₂ = h (altura inicial das duas velas)
v₁ = ? (velocidade de queima da vela 1)
v₂ = ? (velocidade de queima da vela 2)
v₁ > v₂
h₁(x) = h - v₁t (função horária do comprimento da vela 1)
h₂(x) = h - v₂t (função horária do comprimento da vela 2)
0 = h - v₁.3 --> v₁ = h/3 ----------------------------------------------(I)
0 = h - v₂.4 --> v₂ = h/4 ----------------------------------------------(II)
t₀ = ? (instante em que as velas foram acesas)
h₂(16 - t₀) = h - v₂(16 - t₀) = 2[h - v₁(16 - t₀)] -----------------------(III)

SOLUÇÃO
Substituindo (I) e (II) em (III):
h - v₂(16 - t₀) = 2[h - v₁(16 - t₀)]
h - (h/4)(16 - t₀) = 2[h - (h/3)(16 - t₀)]
h - 4h + ht₀/4 = 2h -[(2h)/3](16 - t₀)
-3h + ht₀/4 = 2h - 32h/3 + 2ht₀/3 ------------------------------------{Dividindo tudo por "h"}
-3 + t₀/4 = 2 - 32/3 + 2t₀/3 ------------------------------------------{Multiplicando tudo por "12"}
-36 + 3t₀ = 24 - 128 + 8t₀
3t₀ - 8t₀ = - 104 + 36
-5t₀ = -68 -------------------------------------------------------------{Multiplicando tudo por "-1"}
5t = 68
t = 13,6 h ou t = 13h 36min

por Convidado Dom 18 Jan 2015, 23:59

Euclides escreveu:Um outro enfoque

$\\v_1t=x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;v_2t=\frac{L+x}{2}\\\\\frac{Lt}{4}=x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{Lt}{3}=\frac{L+x}{2}\;\;\to\;\;\frac{2Lt}{3}-L=x\\\\\\\frac{Lt}{4}=\frac{2Lt}{3}-L\;\;\;\to\;\;\;\frac{2t}{3}-\frac{t}{4}=1\;\;\;\to\;\;\;t=2,4 \;h\\\\\\16-2,4=13,6\;\;\Rightarrow \;\;13h36min$

Resposta Genial \o/

por gardenialogeorgia Qui 10 Set 2015, 10:32

Euclides escreveu:Um outro enfoque

alguem sabe me explicar essa parte >>>>> https://i.imgur.com/ci08bt7.png
$\\v_1t=x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;v_2t=\frac{L+x}{2}\\\\\frac{Lt}{4}=x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{Lt}{3}=\frac{L+x}{2}\;\;\to\;\;\frac{2Lt}{3}-L=x\\\\\\\frac{Lt}{4}=\frac{2Lt}{3}-L\;\;\;\to\;\;\;\frac{2t}{3}-\frac{t}{4}=1\;\;\;\to\;\;\;t=2,4 \;h\\\\\\16-2,4=13,6\;\;\Rightarrow \;\;13h36min$