Radicais duplos

por Feehs Qua 20 Fev 2013, 13:29

(PUC-57) Determine o menor valor inteiro e positivo de "a" que permite transformar o radical $Radicais duplos Gif$ numa soma e radicais simples e efetue a tranformação para esse valor de a.

R : a=4 ; 1 + √6

Eu tentei fazer usando a ideia de que a² + 8 ≥ 0 , mas não deu certo.

por Luck Qua 20 Fev 2013, 16:52

sqrt[ a+ 3 + sqrt(a²+ 8 ) ]= sqrt(t) + sqrt(k)
elevando ao quadrado:
(a+3) + √(a²+8 )= t + k + 2√(tk)
t + k = a + 3
4tk = a² + 8 -> tk = (a²+8 ) / 4
seja a equação x² - (a+3)x + (a²+8 )/4 = 0, cujas raízes sao t e k
como t e k sao números inteiros, ∆ deve ser quadrado perfeito:
∆ = (a+3)² - 4.1.(a²+8 )/4
∆ = a² + 6a + 9 - a² + 8
∆ = 6a + 1
logo o menor valor de a é 4
∆ = 25
x² - 7x + 6 = 0
x = (7+-5)/2
t = 6 , k = 1

transformação : 1 + √6

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