divisibilidade

Qual é o resto da divisão do número 123456789101112131415...199619971998 por 9 ?

2k3d escreveu:Qual é o resto da divisão do número 123456789101112131415...199619971998 por 9 ?

Boa tarde,

É uma questão que envolve a regra dos "noves fora":

Teremos que adicionar todos os números, de 1 a 1998.

S = (a1 + an)*n/2
a1 = 1
an = 1998
n = 1988

S = (1 + 1998)*1998/2
S = 1999 * 999

Nem será necessário efetuar essa multiplicação; basta verificar os "noves fora" de cada fator:
1999 — "noves fora" = 1 (pois os 9 pela regra equivalem a 0)
999 — "noves fora" = 0 (pois em cada 9, temos: 9, "noves fora", nada ou zero.

"Noves fora" do produto dará, portanto:
1 * 0 = 0

Portanto, o resto da divisão da soma proposta, por 9, é igual a zero!





Um abraço.

ivomilton , regra dos "noves fora" nunca ouvi falar nesta regra , sempre resovi questões de divisibilidade por outros métodos ,mas enfim como funciona a regra noves fora ?

2k3d escreveu:ivomilton , regra dos "noves fora" nunca ouvi falar nesta regra , sempre resovi questões de divisibilidade por outros métodos ,mas enfim como funciona a regra noves fora ?

Boa noite,

Antes de falar da regra, veja:

S = 1999 * 999

999/9 = 111, resto 0

(r) S/9 = (r)1999/9 * (r)999/9 = (r)1999/9 * 0 = 0


Agora, quanto à regra dos "noves fora", ela é bastante antiga, já nem se usa mais, por não ser confiável.
Funcionava assim:
Numa soma, por exemplo, 156 + 347 = 503, fazíamos o seguinte para tirar a "prova dos noves fora":
1+5+6 = 12; 1+2 = 3 (este 3 seria o resultado de se tirar os "noves fora" da parcela 156;
3+4+7 = 14; 1+4 = 5 (e este 5, igualmente o seria da parcela 347;
5+0+3 = 8
Assim, para conferir se a soma estava correta, verificávamos:3+5=8 (ok).
Só que era uma regra falha, pois se em vez de 503, escrevesse 530, essa prova daria como certa uma conta errada!

Se por acaso fosse multiplicação, 156 * 347, ficaria:
156, "noves fora"=3 e 347, "noves fora"=5 (como já vimos);
156*347 = 54132
5+4+1+3+2 = 15; 1+5=6
Tirando a prova agora:
3 * 5 = 15; 1+5=6
E então se dava a conta por certa, mas igualmente se se invertia algum algarismo do produto, não acusava o erro!




Um abraço.