Divisibilidade

O resto da divisão do número por 7 é igual a :

a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4

Gabarito : A

2k3d escreveu:O resto da divisão do número [url=http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=A = \frac{2^0 @plus; 2^1 @plus; 2^2 @plus; ... @plus; 2^2^0^1^2}{7}][/url] por 7 é igual a :

a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4

Gabarito : A

Boa tarde,

O numerador de A possui 2013 termos (devido à inclusão de 2º em seu início).
Analisando os restos de cada soma parcial, vem:
2º = 1; (r) 1/7 = 1
2º +2¹ = 3; (r) 3/7 = 3
2º + 2¹ + 2² = 7; (r) 7/7 = 0
2º + 2¹ + 2² + 2³ = 15; (r) 15/7 = 1
2º + 2¹ + 2² + 2³ + 2⁴ = 31; (r) 31/7 = 3
2º + 2¹ + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵= 63; (r) 63/7 = 0

Agora observe que todo 3º resto vai indicar que a soma dos termos será divisível por 7; logo, dividiremos os 2013 termos por 3.

Sequência de restos (acima) = 1, 3, 0.
Restos possíveis de 2013/7.. = 1, 2, 0.

Se a divisão for exata, essa soma deixará resto 0; se deixar resto 1,
esse resto irá corresponder ao segundo resto da sequência 1,3,0 de
restos, acima; e se deixar resto 2, tal resto corresponderá ao terceiro
resto da referida sequência.

Ora (r) 2013/3 = 0 (porque 2+0+1+3 = 6, que é divisível por 3);
Assim, (r) A/7 = 0.

Alternativa (a)





Um abraço.

Entendi ,obrigado ivomilton .