Dilatação-02

por Ismael Neto Qui 07 Fev 2013, 22:29

Um relógio de pêndulo feito de invar é preciso a 20°C. Se o relógio for usado em um clima cuja temperatura média é de 30°C, qual a correção (aproximadamente) necessária no fim de 30 dias do início da contagem?
(Dado: α(invar)= 0,7.10^-6 °C^-1 )
Resposta:

Spoiler:

por **Euclides** Qui 07 Fev 2013, 23:20

Período preciso de 1 segundo:

$T=2\pi\sqrt{\frac{L_0}{g}}$

período real:

$T'=2\pi\sqrt{\frac{L_0(1+\alpha \Delta t)}{g}}$

$\frac{T'}{T}=\sqrt{1+\alpha \Delta t}\;\;\to\;\;T=1s\;\;\to\;\;T'=\sqrt{1+7.10^{-6}}$

o pêndulo adianta o relógio em $3,499.10^{-6}$ segundos por segundo. Em 30 dias deve-se atrasar o relógio em

$3,499.10^{-6}\times 30\times 24\times 3600\;\to\;9,069 s$

PS: precisa mesmo acertar o relógio?

por Ismael Neto Qui 07 Fev 2013, 23:25

Obrigado mestre, sabe como é o verão...

por **Robson Jr.** Qui 07 Fev 2013, 23:33

Essa é uma questão que já apareceu em provas do ITA. Para calcular o T' no braço, deixo como sugestão Bernoulli:

$\small T'=(1+7.10^{-6})^{\frac{1}{2}} \approx 1+\frac{1}{2}.7.10^{-6}=1+\text{3,5}.10^{-6}$

O atraso de 3,5.10^-6 segundo bate com o calculado pelo Euclides.

por **Euclides** Qui 07 Fev 2013, 23:49

Boa sugestão Robson Jr. Realmente é sacrificar muito. Essa aproximação é obtida por diferencial:

$f(x+\Delta x)\cong f(x_0)+f'(x_0).\Delta x$

$\\ f(x)=\sqrt{x}\;\;\to\;\;f(x_0)=1\\\\f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\to\;\;f'(x_0)=\frac{1}{2}\\\\f(x+\Delta x)=1+\frac{1}{2}\times0,7.10^{-6}$

por **Robson Jr.** Sex 08 Fev 2013, 00:20

Só consegui pensar numa demonstração para x positivo.

MA ≥ MG:

$\small \\ \frac{(1+nx)+\overset{n-1\text{ vezes}}{\overbrace{1+1+...+1}}}{n} \geq \sqrt[n]{(1+nx).1.1. \ ... \ .1} \Rightarrow (1+x)^n \geq 1+nx$

Com igualdade se, e somente se, (1 + nx) = 1 = ... = 1, o que ocorre para x = 0 ( ou perto disso... Wink

)

Fico com a do Euclides.

por mhope Seg 05 Fev 2024, 11:13

Robson Jr. escreveu:Essa é uma questão que já apareceu em provas do ITA. Para calcular o T' no braço, deixo como sugestão Bernoulli:

$gif.latex?\small T'=(1+7.10^{-6})^{\frac{1}{2}} \approx 1+\frac{1}{2}.7.10^{-6}=1+\text{3,5}.10^{-6}$

O atraso de 3,5.10^-6 segundo bate com o calculado pelo Euclides.

Por que vocês não somaram o 1 em T'= 1 + 1/2.7.10^-6? Para vocês deu 3,5.10^-6 (0,0000035), sendo que com +1 fica 1,0000035.

por **Elcioschin** Seg 05 Fev 2024, 11:49

Não se pode somar grandezas com unidades diferentes:

T = 1 s ---> unidade de tempo s

α = 0,7.10^-6 ºC^-1 ---> unidade de coeficiente de dilação térmica ºC^-1

Um exemplo prático: quanto vale a soma de 10 bois com 5 cenouras?

por mhope Seg 05 Fev 2024, 15:19

Elcioschin escreveu:Não se pode somar grandezas com unidades diferentes:

T = 1 s ---> unidade de tempo s

α = 0,7.10^-6 ºC^-1 ---> unidade de coeficiente de dilação térmica ºC^-1

Um exemplo prático: quanto vale a soma de 10 bois com 5 cenouras?

Não tinha prestado atenção nisso... Agora eu entendi, muito obrigada, mestre!