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Desafio - MHS - 1

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Mensagem por duduzao Sab 26 Jan 2013, 14:29

Quanto tempo dura o choque entre uma bola de futebol de raio r e massa m, em uma parede ?
Dados: pressão interna = p
Pressão atmosférica = p0

não tenho gabarito.

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Desafio - MHS - 1 Empty Re: Desafio - MHS - 1

Mensagem por Euclides Sab 26 Jan 2013, 18:55

OBS: trata-se de uma tentativa da qual não estou totalmente seguro.

No choque a bola se deforma até que receba da parede uma pressão que somada à pressão atmosférica iguale a pressão interna. Vou supor que a área de aplicação dessa força seja a secção transversal da bola.



O impulso recebido é igual à variação do momento linear, em módulo temos



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Mensagem por duduzao Sab 26 Jan 2013, 21:20

Euclides,
Na área, não devemos utilizar 4pir² ?

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Mensagem por Euclides Sab 26 Jan 2013, 21:39

@duduzao escreveu:Euclides,
Na área, não devemos utilizar 4pir² ?
Não há como considerar que a força aplicada pela parede envolva a bola. Eis como considerei:

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Mensagem por Mimetist Dom 19 Abr 2015, 20:58

Suponha que, durante o choque, a bola adquira uma elongação  x.

Analisemos como varia a pressão interna do gás durante o choque, assumindo que tenhamos uma transformação isotérmica:


\frac{4p_{1}\pi r^3}{3}=p\Big(\frac{4\pi r^3}{3}-\frac{\pi x^2(3r-x)}{3}\Big) \iff p=\frac{4p_{1}r^3}{4r^3-x^2(3r-x)} \ \ \ (II)


Reescrevendo   (II) :


p=\frac{4p_{1}r^3}{4r^3-x^2(3r-x)}=\frac{p_{1}}{1-\frac{x^2(3r-x)}{4r^3}}


x << r \ \ \ \rightarrow \ \ p  \approx p_{1}


Com a condição imposta acima, a pressão interna é aproximadamente constante, assim, basta compararmos as pressões externa e interna.

Considere que a área onde a força é aplicada seja a área de uma calota esférica, portanto:

\Delta p=p-p_{o}=\frac{F}{2\pi rx} \ \iff \ F=2\pi r(p-p_{o})x=kx


Assim:

k=2\pi r(p-p_{o}) \ \ \ \ (III)


Do movimento harmônico simples:


\omega=\frac{2\pi}{T}=\sqrt{\frac{k}{m}} \ \ \ (IV)


(III) \ \ \ \text{em} \ \ \ (IV) :


\frac{2\pi}{T}=\sqrt{\frac{2\pi r(p-p_{o})}{m}} \ \ \iff T=2\pi \sqrt{\frac{m}{2\pi r(p-p_{o})}}


O tempo de choque, t_{c}, corresponde à metade de uma oscilação do sistema, ou seja:


t_{c}=\frac{T}{2}


Portanto:


\boxed{t_{c}=\pi\sqrt{\frac{m}{2\pi r(p-p_{o})}}} \ \ \ \text{ou} \ \ \ \  \boxed{t_{c}=\sqrt{\frac{\pi m}{2 r(p-p_{o})}}}
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