Fuvest 1995 Geometria Espacial

por **Bá Poli** Sáb 05 Jan 2013, 17:09

No cubo de aresta "a" mostrado na figura adiante, X e Y são pontos médios das arestas AB e GH respectivamente. Considere a pirâmide de vértice F e cuja base é o quadrilátero XCYE. Calcule, em função de a,
a) o comprimento do segmento XY.
b) a área da base da pirâmide.
c) o volume da pirâmide.
Fuvest 1995 Geometria Espacial 6rimw3

Spoiler:

Meu problema está no item 2... Encontro EX = (a√5)/2, aplicando Pitágoras no Triângulo EAX. Logo, a área da base da pirâmide ficaria: 5a²/4. E no item c), consequentemente encontro o Volume diferente do gabarito. Alguém poderia me ajudar onde estou errando?

por **Leonardo Sueiro** Sáb 05 Jan 2013, 17:39

Perceba que XE = CY e XC = EY. - > XCYE é um losango.
https://2img.net/r/ihimizer/img526/4718/semttulotdp.png

XY*EC/2 = área

XY² = a² + a²
XY = a√2

EC = a√3

área = a√3*a√2/2 = a²√6/2

por **Bá Poli** Sáb 05 Jan 2013, 17:53

Obrigada Leo! Não percebi que as diagonais eram diferentes e considerei XCYE um quadrado...

No item c), como eu faço para calcular a altura da pirâmide?

por **Leonardo Sueiro** Sáb 05 Jan 2013, 18:37

Fuvest 1995 Geometria Espacial Semttulotza

Desculpe a demora, estava comendo:

Podemos calcular o volume total e subtrair dele todas os volumes externos da pirâmide:

S = a³ - Ae

Pirâmide XFCB: (a*a/2*a)/2*3 = a³/12
Pirâmide CFGY: (a*a/2*a)/2*3 = a³/12

Podemos imaginar um octaedro formado por uma duplicação dessa pirâmide. Se multiplicarmos o volume total por 2, obtemos os volumes externos ao octaedro.

2At = a³/3

Vamos pegar o volume total do cubo e subtrair do volume externo para obter a área do octaedro(que corresponde ao dobro do volume da pirâmide)

2S = a³ - a³/3
2S = 2a³/3

S = a³/3

por **Leonardo Sueiro** Sáb 05 Jan 2013, 19:00

Ops ... fiz um monte de conta, mas não respondi sua pergunta hehe

Com volume em mãos => V = Sb*h/2

por **Bá Poli** Sáb 05 Jan 2013, 19:09

Entendi perfeitamente agora... Duplica-se o volume da pirâmide para formar o octaedro e subtrai o volume externo (4 vezes o volume da XFCB). Aí o volume pedido é a metade do octaedro.

Muito obrigada!! Very Happy