Fuvest - Geometria Espacial.

A base do tetraedro PABCD é o quadrado ABCD de lado L, contido no plano α. Sabe-se que a projeção ortogonal do vértice P no plano α está no semiplano de α determinado pela reta BC e que não contém o lado AD. Além disso, a face BPC é um triângulo isósceles de base BC cuja altura forma, com o plano α, um ângulo θ, em que 0 < θ < π/2. Sendo PB = (√2)/2, determine, em função de L e θ, 




a) o volume do tetraedro PABCD; 
b) a altura do triângulo APB relativa ao lado AB; 
c) a altura do triângulo APD relativa ao lado AD. 

Gabaritovisky:

Spoiler:

Gabriel,
ou lhe passaram o enunciado com ERRO ou você é muito RELAXADO. Perdi tempo fazendo as contas -- que NÃO batiam com o gabarito -- e, depois, outro tempo para descobrir como consertar o enunciado. No enunciado o correto é "Sendo PB = L.(√2)/2, determine...", para que se obtenha as alternativas.

As contas que fiz estão abaixo e não vou refazê-las pois elas atendem ao enunciado que você apresentou.



adendo: se o triângulo BPC é isósceles, também o é o triângulo APD.

Medeiros, peço mil desculpas por meu deslize. Eu dei um ctrl +c ctrl+v no enunciado, porém alguns símbolos como a raiz quadrada e o L não saíram. Eu acrescentei, portanto, o que não saiu, mas passou-me despercebido este "L". =/

De verdade, fiquei constrangido por ter feito o senhor gastar tempo por um deslize meu. Me desculpe.

Quanto à resposta com outros valores é tão válida quanto uma com os valores certos. O meu objetivo, ao postar tal questão, foi de entender o raciocínio para a resposta e não copiar a resposta em si em meu caderno. Tal raciocínio o senhor demonstrou "bonitamente". :DD

Este adendo aqui:"se o triângulo BPC é isósceles, também o é o triângulo APD." resolveu as minhas dúvidas principais que eu tinha nesta questão, muitíssimo obrigado

Contudo, se possível, gostaria de tirar uma dúvida bobinha.
Nessa passagem do enunciado:
"Sabe-se que a projeção ortogonal do vértice P no plano α está no semiplano de α determinado pela reta BC e que não contém o lado AD"

Ela contém alguma informação relevante para a resolução da questão, fora a da projeção ortogonal? Pergunto isso pois não consigo imaginar esse semi plano α, que contém a projeção ortogonal de P e a reta BC, não contendo a reta AD.

Plano alfa é o plano que contém o quadrado da base ABCD. Neste plano, trace uma reta (r) por BC; r divide o plano alfa ao meio, ou seja, em dois semiplanos. Num deles (numa metade) forçosamente estarão as arestas AB, AD e DC do quadrado -- isso porque a reta r contém uma das arestas da base --; o outro semiplano está "vazio". O enunciado está dizendo que a projeção de P ocorre nessa parte vazia; com isso ele diz que o tetraedro é inclinado, que o vértice fica "fora" da base e pra qual lado o vértice fica de fora.

O desenho fornecido está muito bem feito e toda essa descrição no enunciado serve para que ninguém se confunda ao interpreta-lo -- é exatamente como está desenhado. Porém,  com toda essa descrição detalhada, nem precisaria fornecer o desenho. Serve também para aferir os conhecimentos do examinando sobre plano, semiplano, projeção e sobre sua noção espacial (particularmente requerido pelo item b).

Agora, cá entre nós, esse lapso me deu muito trabalho "mesmo" (na hora fiquei com raiva --  confesso com vergonha), pois além das contas apresentadas fiz muitas outras, espremendo e tentando tudo que é transformação a fim de obter o gabarito. Até o momento em que raciocinei: (a) a Fuvest exige conhecimento de conceito e raciocínio e simplifica a parte das contas, não iria exigir tanta conta demorada e confusa; (b) a Fuvest é um exame bem elaborado, de primeira categoria, não iria cometer um erro bobo no enunciado e nem um crasso no gabarito.

Abs.