(FUVEST) Geometria Espacial

por Renner Williams Qui 02 Jul 2015, 08:17

Na figura abaixo, ABCD é um tetaedro regular de lado a. Sejam E e F os pontos médios de AB e CD respectivamente. Então, o valor de EF é:

(FUVEST) Geometria Espacial Ann3gp

Alguém pode justificar a resposta?

por **Elcioschin** Qui 02 Jul 2015, 15:11

Como poderemos justificar uma resposta (que você parece conhecer) e que nós não conhecemos!!!

Você não está respeitando a Regra XI do fórum: não postou as alternativas e talvez nem a resposta!!!!

Achei EF = a.√2/2

por **Christian M. Martins** Qui 02 Jul 2015, 18:52

Achei o gabarito, Élcio. É o valor que você postou: $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

por **Elcioschin** Qui 02 Jul 2015, 20:49

O Renner está devendo as alternativas.
Tenho por hábito só responder quando a postagem está de acordo com as Regras do fórum.
Vamos aguardar o Renner responder.

por Renner Williams Seg 06 Jul 2015, 09:34

Opa! Esqueci das alternativas e gabarito.

Peço desculpa.

Alternativas:

a) a/2

b) a√2/2

c) a√2/4

d) a√3/2

e) a√3/4

Gabarito:

a√2/2

Elcioshin, pode explicar como chegar a resolução?

por **Elcioschin** Seg 06 Jul 2015, 12:20

Seu desenho tem uma falha: não podem existir DUAS arestas pontilhadas:

Supondo que ABC é a base do tetraedro, apoiada num plano horizontal, a aresta BD é visível e deve ser contínua (não pontilhada)

Seja O o centro da base da base ABC.
Trace CE (passando por O): CE = altura do triângulo ABC ---> CÊB = 90º

A^CE = B^CE = 30º

CE = BC.cos30º --> CE = a.(√3/2) --> OE = (1/3).CE = a.√3/6 --> OC = (2/3).CE --> OC = a.√3/3

OD² = CD² - OC² ---> OD² = a² - (a.√3/3)² --> OD² = 2.a²/3 ---> OD = a.√6/3

Por F trace uma perpendicular CE em G ---> FG = OD/2 ---> FG = a.√6/6

OE = OG = CG = a.√3/6

EG = OE + FG ---> EG = a.√3/6 + a.√3/3 ---> EG = a.√3/3

EF² = EG² + FG² ---> EF² = ( a.√3/3)² + (a.√6/6)² ---> EF = a.√2/2