Logarítmos

por **LPavaNNN** Seg 24 Dez 2012, 19:26

se $0<x\neq 1$ demonstre que:
$\frac{1}{log_x2.log_x4}+\frac{1}{log_x4.log_x8}+...+\frac{1}{log_x2^{n-1}.log_x2^n}=(1-\frac{1}{n}).\frac{1}{log^2_x2}$

Sugestão: $\frac{1}{n(n-1)}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$

por **Adam Zunoeta** Ter 25 Dez 2012, 15:28

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por Convidado Ter 25 Dez 2012, 15:46

Amigo Adam, não pude compreender a passagem abaixo:

$\boxed{\log_x2=x\;\;(?)\to x^2=\log^2_x2}$

poderia explicar?
____________________________________________________
Sobre a questão colocada, há um erro nessa proposta: o que é igualado como a soma dos termos é a penas o termo dado como genérico:

$\frac{1}{\log_x2^{n-1}.\log_x2^n}=\frac{1}{n(n-1)\log^2_x2}$

tem mais: o termo dado como genérico não atende

$\frac{1}{\log_x2^{n-1}.\log_x2^n}\text{ para n=1 }\to \frac{1}{\log_x2^{1-1}.\log_x2^1}=\frac{1}{\log_x2^0.\log_x2}=\text{indeterminação}$

o termo genérico real deve ser

$\frac{1}{\log_x2^{n}.\log_x2^{n+1}}$

a expressão

$\frac{1}{log_x2.log_x4}+\frac{1}{log_x4.log_x8}+...+\frac{1}{log_x2^{n}.log_x2^n+1}=$

$\\=\frac{1}{2\log_x^22}+\frac{1}{2\log_x2}\left (\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{3.2^{k-1}} \right )\\\\\\ \text{nos parênteses uma PG de razão }\frac{1}{2}\text{ que possui k elementos, k=n-1}$