mostre que

Mostre que sen^2(45°+x)-sen^2(30°-x) é igual a sen75°.sen(2x+15).

Utilizando o produto notável:

(a + b)(a - b) = a² - b²


A transformação de soma em produto:

sen p + sen q = 2 . sen [(p+q)/2] . cos [(p-q)/2]

sen p - sen q = 2 . sen [(p-q)/2] . cos [(p+q)/2]


E o arco dobro:

sen 2a = 2 . sen a . cos a


Vamos lá:

sen² (45° + x) - sen² (30° - x)

[sen (45º + x)]² - [sen (30º - x)]²

[sen (45º + x) + sen (30º - x)] . [sen (45º + x) - sen (30º - x)]

{2 . sen [(45º + x + 30º - x)/2] . cos [(45º + x - 30º + x)/2]} . {2 . sen [(45º + x - 30º + x)/2] . cos [(45º + x + 30º - x)/2]}

{2 . sen (75º/2) . cos [(15º + 2x)/2]} . {2 . sen [(15º + 2x)/2] . cos (75º/2)}

2 . sen (75º/2) . cos (75º/2) . 2 . sen [(15º + 2x)/2] . cos [(15º + 2x)/2]

sen 75º . sen (15º + 2x)

Obg Cesconetto mais o que vc fez na penultima linh, a que eu copiei aqui, pra dar aquele resultado final? usou alguma propriedade?

2 . sen (75º/2) . cos (75º/2) . 2 . sen [(15º + 2x)/2] . cos [(15º + 2x)/2]

Usei o arco dobro: sen 2a = 2 . sen a . cos a

Para ficar mais fácil de enxergar:

m = 75º
n = 15º + 2x


2 . sen (75º/2) . cos (75º/2) . 2 . sen [(15º + 2x)/2] . cos [(15º + 2x)/2]

2 . sen (m/2) . cos (m/2) . 2 . sen (n/2) . cos (n/2)


2 . sen (m/2) . cos (m/2) = sen (m) = sen (75º)


2 . sen (n/2) . cos (n/2) = sen (n) = (sen 15 + 2x)

Agora consegui entender, obg Cesconetto

Outra solução:
Usando as relações:
cos(2x) = 1 - 2sen²(x)
sen(x) + sen(y) = 2sen((x + y)/2)cos((x - y)/2)
E lembrando que o seno de um angulo é igual ao coseno de um complementar.

S = sen²(45+x) - sen²(30-x)

cos(90 + 2x) = 1 - 2sen²(45 + x) => sen²(45 + x) = (1 - cos(90 + 2x))/2
O complementar de 90 + 2x é -2x e sen(-2x) = -sen(2x), então:
sen²(45 + x) = (1 + sen(2x))/2
Logo:
S = (sen(2x) + (1 - 2sen²(30 - x)))/2 => S = (sen(2x) + cos(60 - 2x))/2
O complementar de 60 - 2x é 30 + 2x, então:
S = (sen(2x + 30) + sen(2x))/2
Por prostaferese:
S = 2sen((4x + 30)/2)cos((2x + 30 - 2x)/2)/2 => S = sen(2x + 15)cos(15) => S = sen(2x + 15)sen(75)

c.q.d