Geometria - calcular a distância

por **raimundo pereira** Ter 13 Nov 2012, 19:15

Os lados de um triângulo medem AB=8cm, AC=10cm e BC=12cm. Calcular a distância do vértice A ao centro do círculo inscrito nesse triângulo.

Resp.4cm

por **JoaoGabriel** Ter 13 Nov 2012, 20:23

Imagem:

Primeiramente, pela relação básica da tangência:

x + y = 8
x + z = 10
y + z = 12

Fazendo (2) - (3), vem:

x - y = -2
x + y = 8
2x = 6
x = 3

Lei dos cossenos partindo do vértice A:

$144 = 64 + 100 - 2( 8 )(10)cos2\alpha \to 160cos2\alpha = 20 \to cos2\alpha = \frac{1}{8}$

Pelas relações de arco metade, vem:

$\\cos^2\alpha = \frac {1 + cos2\alpha}{2}$

Substituindo, vem:

$\\cos^2\alpha = \frac {1 + \frac{1}{8}}{ 2} = \frac {9}{16}\therefore cos\alpha = \frac {3}{4}$

Agora basta aplicar o cosseno:

$\\\frac{3}{d} = \frac {3}{4}\to \fbox{\boldsymbol{d=4cm}}$

por **Leonardo Sueiro** Ter 13 Nov 2012, 20:29

Geometria - calcular a distância Semttulouuh

$\overline{AZ} + \overline{BZ} = 8\\\overline{CY} + \overline{YA} = 10\\\overline{BX} + \overline{CX} = 12$

Lembrando que $\overline{AZ} = \overline{AY}\\\overline{BZ} = \overline{BX}\\\overline{CX} = \overline{CY}$

Obteremos $\overline{AZ} = 3cm$

Veja o triângulo retângulo AZO, em que O é o centro da circunferência. Precisamos descobrir o valor do raio

Geometria - calcular a distância Semttulopmn

Geometria - calcular a distância Semttulopmn

Usando a lei dos cossenos para descobrir o ângulo teta
$\overline{AB}^{2} = \overline{AC}^2 + \overline{BC} -2\overline{AC}.\overline{BC}.cos\Theta \rightarrow 64 = 144 + 100 -2.12.10.cos\Theta \rightarrow cos\Theta = \frac{3}{4}$

Vamos descobrir o raio:
$tg(\frac{1}{2}\Theta ) = \frac{r}{\overline{XC}} \rightarrow \frac{sen(\frac{1}{2}\Theta )}{cos(\frac{1}{2}\Theta )} = \frac{r}{\overline{XC}} \rightarrow \frac{\sqrt{\frac{1 - cos\Theta }{2}}}{\sqrt{\frac{1 + cos\Theta }{2}}} = \frac{r}{\overline{XC}} \rightarrow \frac{\sqrt{\frac{1 - \frac{3}{4} }{2}}}{\sqrt{\frac{1 + \frac{3}{4} }{2}}} = \frac{r}{7}$

$r = \sqrt{7}$

$r^2 + 3^2 = x ^2$

x = 4

por **Robson Jr.** Ter 13 Nov 2012, 20:45

3ª solução, sem trigonometria:

Spoiler:

Obrigado ao amigo JoaoGabriel pelas relações de tangência. Não as conhecia. Smile

por **Leonardo Sueiro** Ter 13 Nov 2012, 20:52

Robson Jr. escreveu:3ª solução, sem trigonometria:

Spoiler:
Obrigado ao amigo JoaoGabriel pelas relações de tangência. Não as conhecia.

http://www.profcardy.com/cardicas/potencia-de-ponto.php cheers

por **raimundo pereira** Ter 13 Nov 2012, 21:01

Geometria - calcular a distância 34gkej6

Agradeço ao João e ao leosueiro123 pelas resoluções. Não consegui abrir a imagem do João, pelo desenho do leosueiro123 vejo mais uma alternativa.
S=p.R
S1=Vp(p-a)(p-b)(p-c) , Igualando S=S1 temos R=V7

Aplicando Pitágoras no triângulo AZO temos AO²=(V7)²+3² --> AO=4cm