(IME 2004) número primo

Um quadrilátero convexo ABCD está inscrito em um círculo de diâmetro d. Sabe-se que AB=BC=a, AD=d e CD=b, com a, b e d diferentes de zero. Se a, b e d são números inteiros e a é diferente de b, mostre que d não pode ser primo.

Algumas justificativas:

● O triângulo ∆ABC é isósceles, já que AB = BC. Logo a bissetriz é altura e mediana. (I)
● A partir de I, montamos o triângulo ∆ABH e temos α+β=90 (II).
● Um quadrilátero é inscritível somente se os ângulos internos opostos são suplementares (III).
● De II e III, temos que ADC = 2β. (IV)
● Como o triângulo ∆ABO também é isósceles, de II temos AOB = 2β (V)
● De IV e V, temos que as retas OB e DC são paralelas. Logo os triângulos ∆AHO e ∆ACD são semelhantes. (VI)
● De VI, se as bases de ∆AHO e ∆ACD estão na razão 1:2 então os outros lados também estão. Logo OH = b/2

Pitágoras no triângulo ∆AHO:



Note que HB = OB - OH = d/2 - b/2. Pitágoras no triângulo ∆ABH:



Substituindo Eq 1 em Eq 2, vem:



Suponha que "d" seja um primo. Obviamente o único fator de "d" é ele mesmo, mas se temos um quadrado no lado esquerdo necessariamente d - b precisa ter um fator "d" para que surja um d². Isso, porém, é um absurdo, já que é impossível que
d - b < d seja múltiplo de d. Segue, então, que d não pode ser primo.

CqD

EDIT: De onde é essa questão?

∆AHO e ∆ACD estão na razão 1:2. Como você chegou a essa conclusão?

As bases estão nessa razão (d e d/2).

Como posso deduzir que AO é igual d/2?Para isso é necessário deduzir que o ponto O seja o centro da circunferência, mas não há nada que prove que a mediatriz do triângulo ABC toca o centro da circunferência, há?

Leandro

OB é, além de mediatriz do segmento AC é bissetriz do ângulo A^BC

Como AB = BC e são dois lados consecutivos a bissetriz obrigatoriamente passa por O.

Obrigado por responder, Elcio.

Leandro, lembre que, no círculo, a mediatriz de uma corda sempre passa pelo centro.

Elcioschin e Robson,

Muito grato