(ITA - 1990) Hidrostática

Um cone maciço e homogêneo tem a propriedade de flutuar em um líquido
com a mesma linha de flutuação, quer seja colocado de base para baixo ou
vértice para baixo. Neste caso pode-se afirmar que:

a) A distância da linha d’água ao vértice é a metade da altura do cone.

b) O material do cone tem densidade 0,5 em relação à do líquido.

c) Não existe cone com essas propriedades.

d) O material do cone tem densidade 0,25 em relação ao líquido.

e) Nenhuma das respostas acima é satisfatória.

Spoiler:

O volume de um cone é um terço do volume do cilindro que o envolve:

Vci = ∏r²h

Vco = ∏r²h/3

O volume de um tronco reto de cone, de altura H, é o volume do cone original, de altura H + h, subtraído do volume do cone retirado, de altura h:

Vtr = ∏r²(H+h)/3 - ∏r²h/3 = (∏r²/3)(H+h-h) = ∏r²H/3

Para que o cone tenha a mesma linha de flutuação quando invertido, é necessário que os volumes submersos, ora um tronco, ora um cone, sejam os mesmos, pois, somente nessas condições receberiam o mesmo empuxo:

Vtr = Vci

∏r²H/3 = ∏r²h/3

H = h

Isto significa que a linha de flutuação é a metade da altura do cone:

L = (H + h)/2 = 2H/2 = H = h

Isso só acontecerá se a densidade relativa do cone em relação à água for 1/2:

O empuxo (E) equivale ao peso (PL) do volume (VL) de líquido deslocado.

O volume de líquido deslocado (VL) equivale ao volume submerso do sólido (VS).

No equilíbrio o peso do sólido (PS) se iguala ao empuxo (E):

PS = E

Sejam:

M := massa do sólido

s := densidade do sólido

m := massa do volume de fluido deslocado

f := densidade do fluido

Teremos:

M.g = m.g

M = m

s . Vci = f . VS

s / f = VS / Vci

Como:

VS = Vci / 2

Tem-se, para a densidade relativa do sólido em relação ao líquido:

s / f = (Vci / 2) / Vci

s / f = 1 / 2 = 0,5